경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 1999 · #20
학년 6 geometry-3d
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AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제는 위에서 본 2D 지도를 주고 정면에서 본 3D 구조를 묻습니다 — 도구 #17(공간 상상하기)의 전형적인 신호입니다. 핵심 관찰은 한 열의 정면도 높이가 그 열에서 더 높은 스택과 같다는 점이에요. 더 높은 쪽이 더 낮은 쪽을 가리기 때문이죠. 도구 #10(직접 만져보기)은 안전망입니다. 머릿속 투영이 헷갈리면 실제 블록으로 쌓아 보고 정면에서 바라봐도 되고, 종이에 열별 실루엣을 그어 봐도 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 검산입니다. 세 열의 높이가 정해지면 다섯 그림 중 정확히 그 순서의 높이를 가진 것은 하나뿐입니다.
앞에서 본 모습 규칙 세우기
정면에서 보면 같은 열의 두 스택이 하나의 실루엣으로 겹치고, 그 높이는 둘 중 더 큰 값입니다.
위에서 본 격자를 (x, y) 좌표로 읽고 (x, z) 평면에 투영하는 것 — 5학년 좌표축 개념을 한 축 더 확장한 것입니다.
쌓인 정육면체 구조물을 앞에서 보면 각 열에서 보이는 높이는 그 열의 두 더미 중 더 높은 더미의 높이와 같은데, 더 높은 더미가 더 낮은 더미를 가리기 때문이다.
▸ 왜?
한 열에 있는 두 더미는 좌우 위치가 같고 앞뒤 깊이만 다르므로, 앞에서 보면 하나가 다른 하나의 바로 뒤에 서서 두 더미의 윤곽이 그림의 같은 자리에 겹친다.
▸ 왜?
앞모습은 뒤에서 앞으로 향하는 방향을 따라 똑바로 바라보아 만들어지며, 각 정육면체의 좌우 위치와 높이는 담지만 얼마나 뒤에 있는지는 담지 못하므로, 깊이만 다른 두 정육면체는 정확히 같은 자리에 놓인다.
▸ 왜?
두 더미가 겹치는 곳에서는 더 높은 더미가 더 낮은 더미를 막고, 각 더미는 바닥에서부터 위로 쌓인 정육면체이므로 더 높은 더미는 더 낮은 더미가 닿는 모든 층에 닿고 그보다 더 높이 올라가므로, 보이는 위쪽 가장자리는 더 높은 더미의 꼭대기가 된다.
▸ 왜?
정육면체 h개를 쌓은 더미는 바닥에서 높이 h까지 모든 층을 빈틈없이 채우므로, 더 높은 더미는 앞이나 뒤에 있는 더 낮은 더미의 모든 층을 덮어 더 낮은 더미가 위로 드러나지 않는다.
쌓기 지도 읽기
뒷줄과 앞줄을 열별로 위아래 짝지어, 각 열의 두 높이를 나란히 둡니다.
두 줄을 열별로 포개 놓으면 지도는 세 쌍의 높이가 되어 max 규칙에 그대로 넣을 수 있습니다.
5.G.A.1Visualize Spatial Relationships열마다 가장 높은 것 고르기
각 열의 최댓값을 고릅니다 — 높은 쪽이 낮은 쪽을 가리니, 정면 높이는 2, 3, 4.
실제로 책상에 정육면체를 쌓아 두고 정면에서 눈높이를 맞추면, 각 열에서 보이는 높이는 가장 높은 스택 하나뿐 — 규칙이 자연스럽게 따라옵니다.
6.SP.A.3Create A Physical Representation선택지와 맞춰 보기
정면 높이 2, 3, 4를 다섯 그림과 맞춰 보면, 왼→오 계단은 (B) 뿐이고 나머지는 적어도 한 열이 안 맞습니다.
왼→오 2-3-4 계단은 (B) 뿐입니다. (C)는 열이 두 개뿐이고, (A), (D), (E)는 적어도 한 열의 높이가 안 맞아서 한눈에 지울 수 있습니다.
6.SP.A.3Eliminate Possibilities정면에서는 한 열의 가장 높은 스택이 더 낮은 쪽을 가립니다 — 각 열의 최댓값을 골라 실루엣 2, 3, 4를 만들면 답은 (B).
- 앞에서 본 모습 규칙 세우기
- 쌓기 지도 읽기
- 열마다 가장 높은 것 고르기
- 선택지와 맞춰 보기
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