경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2006 · #18

학년 6 geometry-3d
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position
surface-areaspatial-visualizationfraction-arithmeticcasework caseworkidentify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: surface-areaarea-rectangles
📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
27 개의 단위 정육면체로 한 변이 3 인 큰 정육면체를 만들었습니다. 모서리(꼭짓점) 위치의 단위 정육면체 8 개는 검은색이고, 나머지 19 개는 흰색입니다. 큰 정육면체의 겉넓이 중 흰색 부분의 비율은 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{9}$
(B)
$\frac{1}{4}$
(C)
$\frac{4}{9}$
(D)
$\frac{5}{9}$
(E)
$\frac{19}{27}$

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기 (여집합 세기)

흰색 단위 정사각형을 직접 세는 건 번거롭습니다 — 모서리·면·중앙에 있는 큐브가 노출하는 면 수가 다 다르거든요. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 검은색 쪽을 세면 훨씬 쉽습니다. 검은 큐브는 8 개 꼭짓점에만 있고, 도구 #17(공간 상상하기)을 쓰면 꼭짓점 큐브 하나가 정확히 3 개의 면을 보인다는 게 보입니다. 그래서 검은 면 개수는 한 번의 곱셈으로 끝납니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (a) 전체 겉면 칸 수, (b) 검은 칸 수, (c) 뺄셈, (d) 분수로 정리합니다.

1STEP 1

겉면 칸 모두 세기

큰 정육면체는 면 6 개, 각 면이 3×3 = 9 칸이므로 겉면은 모두 54 칸입니다.

전체 표면 칸 = 6 × 9 = 54
2STEP 2

검은 칸 세기

검은 큐브 8 개는 꼭짓점에 있고 각각 3 면씩 보이므로 검은 칸은 24 개입니다.

검은 표면 칸 = 8 × 3 = 24
3STEP 3

빼서 흰 칸 구하기

표면의 모든 칸은 검은색 아니면 흰색이므로 전체에서 검은 칸을 빼면 30 칸이 흰색입니다.

흰 표면 칸 = 54 - 24 = 30
4STEP 4

흰 칸 분수 약분하기

흰색 비율 3054\frac{30}{54} 을 쓰고 분자·분모를 6으로 나누면 59\frac{5}{9} 입니다.

30/54 = 5/9 → (D)
정답
5/9
한 면의 대칭성으로 흰 칸을 직접 세 봅니다. 한 면은 3 × 3 격자이고, 그 격자의 네 모서리 칸은 큰 큐브의 꼭짓점에 해당해 검은색입니다. 나머지는 변 가운데 칸 4 개와 한가운데 칸 1 개, 총 5 개가 흰색입니다. 즉 한 면당 흰 5 / 검은 4로 59\frac{5}{9} 가 흰색 — 모든 면이 똑같으니 전체도 59\frac{5}{9}. 답 (D)와 일치합니다. 크기도 자연스럽습니다: 흰 큐브 비율은 1927\frac{19}{27} 이지만 그 흰 큐브들은 대부분 안쪽에 있어 표면에 보이지 않으니, 표면 흰 비율은 그보다 훨씬 작아야 하고 (E)는 후보가 아닙니다.
💡핵심 정리

대부분이 한 색이면 반대 색을 세는 게 빠릅니다 — 꼭짓점의 검은 큐브 8 개가 각각 3 면씩만 보이므로 검은 칸 24 개, 흰 칸 30 개 → 흰색은 59\frac{5}{9} 입니다.

  • 겉면 칸 모두 세기
  • 검은 칸 세기
  • 빼서 흰 칸 구하기
  • 흰 칸 분수 약분하기

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