경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2014 · #19

학년 6 geometry-3d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

surface-areaspatial-visualizationoptimization-counting caseworkoptimization-counting ↑ 선수 지식: surface-areaspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

한 변이 3 인치인 큰 정육면체를 한 변이 1 인치인 작은 정육면체 27 개로 쌓으려고 합니다. 21 개는 빨간색, 6 개는 흰색입니다. 흰 면이 바깥에 가장 적게 보이도록 흰색 정육면체를 배치할 때, 큰 정육면체의 겉넓이 중 흰색이 차지하는 비율은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{5}{54}$

(B)

$\frac{1}{9}$

(C)

$\frac{5}{27}$

(D)

$\frac{2}{9}$

(E)

$\frac{1}{3}$

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 직접 만져보기

3D 배치 문제이므로 도구 #10의 전형적 신호 — 블록 27 개를 실제로 쌓거나 머릿속에서 3 × 3 × 3 큐브를 그려 보면, 자리마다 바깥으로 드러나는 면 수가 다르다는 게 바로 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 조각 — (i) 전체 겉넓이 계산, (ii) 27 칸을 "드러나는 면 수" 로 분류, (iii) 흰 큐브를 가장 안 보이는 자리부터 차례로 배치 — 으로 나눕니다. (ii) 단계의 분류는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 드러나는 면 수가 적은 순서대로 자리 종류를 죽 적고 개수를 세면 빠뜨릴 일이 없습니다.

1STEP 1

전체 겉넓이 구하기

면 6 개가 각각 3 × 3 = 9 제곱인치이므로 전체 겉넓이는 54 제곱인치입니다.

겉넓이 = 6 × 9 = 54 제곱인치

2STEP 2

자리별 드러난 면 세기

27 자리를 드러나는 면 수로 나눕니다 — 꼭짓점 3, 모서리 2, 면 중앙 1, 정중앙은 0.

꼭짓점: 8, 모서리: 12, 면 중앙: 6, 중앙: 1

3STEP 3

자리 개수 확인하기

자리 유형을 노출 순서로 나열해 개수를 더하면 27 이 되어 빠진 자리가 없습니다.

1 + 6 + 12 + 8 = 27 ✓

4STEP 4

흰 정육면체 숨기기

가장 안 보이는 자리부터 — 흰 큐브 1 개는 정중앙(0 면), 나머지 5 개는 면 중앙(각 1 면).

1 (중앙) + 5 (면 중앙) = 6 개 흰 큐브 배치

흰 면 노출의 합을 줄이려면 가능한 한 많은 큐브를 숨기고, 남는 큐브는 각각 한 면씩만 보이도록 두는 것이 최적 — 이것이 "노출 합 최소화" 라는 작은 문제의 그리디 해법입니다.

면이 하나도 드러나지 않는 가장 깊은 중심 칸에 흰 정육면체 하나를 숨기고, 나머지 다섯 개를 면이 하나만 드러나는 면중심 칸에 두면 겉으로 보이는 흰색 넓이가 가능한 한 가장 작아진다.

▸ 왜?

겉으로 보이는 흰색 넓이는 드러난 흰색 면들을 모두 더한 것이므로, 흰색 넓이가 가장 작아지는 배치는 그 드러난 면의 합을 가장 작게 만드는 배치다.

▸ 왜?

바깥의 흰색은 흰 정육면체마다 하나씩, 빈틈도 겹침도 없이 면 조각으로 나뉘므로, 그 조각들을 다시 더하면 전체 흰색 넓이가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

가장 깊은 중심 칸과 여섯 개의 면중심 칸은 각각 최대 한 면만 드러나는 일곱 개의 칸을 이루고, 이는 흰 정육면체 여섯 개보다 많으므로, 여섯 개 모두를 두 면이나 세 면이 드러나는 칸에 넣지 않고 배치할 수 있다.

▸ 왜?

흰 정육면체 여섯 개를 각각 자기만의 서로 다른 최대-한-면 칸과 짝지어도 칸 하나가 남으므로, 여섯 개는 일곱 개의 칸 안에 들어간다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

모든 흰 정육면체에 최대-한-면 칸을 주는 것보다 더 나은 배치는 없다: 어떤 흰 정육면체가 더 많이 드러나는 칸에 있고 어떤 최대-한-면 칸에 붉은 정육면체가 들어 있다면, 그 둘을 맞바꾸면 흰색 총합이 줄어든다.

▸ 왜?

이 맞바꿈은 흰 정육면체 하나의 큰 노출을 더 작은 노출로 바꾸고 나머지 흰 정육면체의 노출은 그대로 두는데, 합의 한 부분이 줄면 합 전체도 줄어든다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

6.G.A.4Identify Subproblems

5STEP 5

흰 부분 넓이 구하기

중앙 큐브는 0, 면 중앙 큐브 5 개는 각각 1 × 1 칸을 드러내므로 흰 겉넓이는 5 제곱인치입니다.

흰 겉넓이 = 1 × 0 + 5 × 1 = 5 제곱인치

6STEP 6

분수로 나타내기

흰 겉넓이 ÷ 전체 = $\frac{5}{54}$ , gcd(5, 54) = 1 이므로 이미 기약분수입니다.

흰색/전체 = 5/54 → (A)

정답

5/54

배치 최적성 확인: 흰 큐브를 모서리 자리에 두면 면 2 개가 드러나 흰 겉넓이가 적어도 1 제곱인치 늘어나고, 꼭짓점 자리에 두면 3 개가 드러납니다. 따라서 5 제곱인치가 진짜 최솟값이고,

\frac{5}{54}

≈ 9.3% — 흰 큐브를 안에 숨겨 놓았으니 이 정도로 작은 게 자연스럽습니다. 답은 (A)

\frac{5}{54}

💡핵심 정리

흰 큐브 하나는 정중앙에 숨기고, 나머지 다섯은 각 면 중앙에 한 칸씩만 보이도록 두면 흰색 겉넓이를 가장 작게 만들 수 있어요.

전체 겉넓이 구하기
자리별 드러난 면 세기
자리 개수 확인하기
흰 정육면체 숨기기
흰 부분 넓이 구하기
분수로 나타내기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

전체 겉넓이 구하기

자리별 드러난 면 세기

자리 개수 확인하기

흰 정육면체 숨기기

흰 부분 넓이 구하기

분수로 나타내기

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