AMC 10 · 2019 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlescoordinate-geometrypythagorean-theoremthirty-sixty-ninety-triangle area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlescoordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트 📊 도형

문제

선분 AD 위에 반지름 1 인 합동 반원 세 개(AB = BC = CD = 2)가 나란히 놓여 있고 각각의 꼭대기는 E, F, G. 큰 원(반지름 2)의 중심은 F. 음영 영역 = (큰 원 내부) - (세 반원의 합집합)을

\frac{a}{b}

π - √(c) + d 형태 (gcd(a, b) = 1) 로 쓰고 a + b + c + d 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림): asy 도면에서 좌표 설정 — F = (0, 0), 큰 원 원점 중심 반지름 2, 작은 반원 중심 (-2,-1), (0,-1), (2,-1). 도구 #7 (쪼개기): (a) 중간 반원 (전체가 큰 원 안), (b) 좌·우 반원이 큰 원과 겹치는 부분. 도구 #16 (관점): 음영 = (큰 원판) - (반원 내부 부분).

1STEP 1

F = (0, 0): 큰 원 x² + y² = 4, 작은 반원 중심 (0, -1), (±2, -1). 대칭이라 양쪽 반원 기여는 같음.

큰: x² + y² = 4; 작은: (x ± 2)² + (y+1)² = 1 또는 x² + (y+1)² = 1

2STEP 2

가운데 반원의 가장 먼 점도 F에서 √(2)뿐 — 반지름 2보다 작아 큰 원 안에 온전히 들어가 넓이 $\frac{\pi}{2}$ 전부 포함.

중간 반원 ∩ 큰 =

\frac{\pi}{2}

3STEP 3

큰 원과 우측 작은 원을 연립하면 5x² - 16x + 12 = 0, 교점은 G = (2, 0) 과 P = ( $\frac{6}{5}$ , - $\frac{8}{5}$ ).

(2, 0) = G, (

\frac{6}{5}

, -

\frac{8}{5}

) = P

4STEP 4

P는 지름선 y = -1 아래라 무시; 실제 절단은 큰 원이 y = -1과 만나는 x = √(3)로 [1, 3] 안에 있음.

√(3) ≈ 1.732 ∈ [1, 3]

5STEP 5

우측 반원 ∩ 큰 원판은 삼각형 하나와 활꼴 두 개로 분해 — 큰 원 호 활꼴 하나, 작은 원 호 활꼴 하나.

삼각형 T = C(1,-1), V(√(3),-1), G(2,0)

6STEP 6

신발끈 공식: (1, -1), (√(3), -1), (2, 0) → 삼각형 넓이 $\frac{√(3) - 1}{2}$ .

T =

\frac{√(3) - 1}{2}

7STEP 7

현 V–G의 중심각은 $\frac{\pi}{6}$ , 부채꼴은 $\frac{\pi}{3}$ , 활꼴(부채꼴 - 삼각형)은 $\frac{\pi}{3}$ - 1.

큰 활꼴 =

\frac{\pi}{3}

- 1

8STEP 8

작은 원 호 G→C는 사분원: 부채꼴 $\frac{\pi}{4}$ 에서 직각삼각형 $\frac{1}{2}$ 를 빼면 활꼴 $\frac{\pi}{4}$ - $\frac{1}{2}$ .

작은 활꼴 =

\frac{\pi}{4}

\frac{1}{2}

9STEP 9

삼각형 + 활꼴 둘을 더하면 우측 반원 ∩ 큰 원판 = $\frac{√(3)}{2}$ + $\frac{7\pi}{12}$ - 2; 대칭으로 좌측도 동일.

우측 반원 ∩ 큰 =

\frac{√(3)}{2}

\frac{7\pi}{12}

- 2

10STEP 10

큰 원판 안 반원 넓이 총합 = $\frac{\pi}{2}$ + 2( $\frac{√(3)}{2}$ + $\frac{7\pi}{12}$ - 2) = $\frac{5\pi}{3}$ + √(3) - 4.

반원 ∩ 큰 =

\frac{5\pi}{3}

+ √(3) - 4

11STEP 11

음영 = 4π - ( $\frac{5\pi}{3}$ + √(3) - 4) = $\frac{7\pi}{3}$ - √(3) + 4, a+b+c+d = 7+3+3+4 = 17 — (E).

음영 =

\frac{7\pi}{3}

- √(3) + 4 → a + b + c + d = 17

정답

수치 확인: 음영 ≈

\frac{7 \cdot 3.14159}{3}

- 1.732 + 4 ≈ 7.330 - 1.732 + 4 ≈ 9.598. 큰 원 = 4π ≈ 12.566. 차 ≈ 2.97 이 반원 합집합 넓이여야 함. 중간

\frac{\pi}{2}

≈ 1.571, 좌·우 각각 ≈ 0.699, 합 ≈ 2.969. ✓. 네 상수 모두 양의 정수, gcd(7, 3) = 1. 합 = 17.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 좌표기하만 알면 풀 수 있어요 — F 를 원점에 두고 두 원의 교점 (G 와 큰 원이 y = -1 과 만나는 x = √(3)) 을 찾은 후 한쪽당 삼각형 + 활꼴 두 개를 더하면 음영 = $\frac{7\pi}{3}$ - √(3) + 4, 따라서 a + b + c + d = 7 + 3 + 3 + 4 = 17. 답은 (E).

비슷한 유형 더 풀어보기