경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2020B · #10

학년 8 geometry-3d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
volume-conepythagorean-theoremarea-circlesperimeter identify-subproblemsphysical-representation ↑ 선수 지식: area-circlespythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
반지름이 4 인치인 원의 34\frac{3}{4} 부채꼴을 두 반지름을 따라 붙여 직원뿔의 옆면을 만든다. 이 원뿔의 부피(세제곱 인치)를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$3\pi \sqrt5$
(B)
$4\pi \sqrt3$
(C)
$3 \pi \sqrt7$
(D)
$6\pi \sqrt3$
(E)
$6\pi \sqrt7$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1로 펴진 부채꼴과 만들어진 원뿔을 나란히 그려 어느 부분이 어디에 대응되는지 표시. 도구 #10으로 종이로 직접 잘라 말아 보면 모선·호·둘레의 대응이 한눈에. 도구 #7로 부피 계산을 (a) 호로 밑면 반지름, (b) 피타고라스로 높이, (c) V = 1/3π r² h 대입의 세 단계로 분리. 도구 #3으로 보기와 매칭.

1STEP 1

펼친 부채꼴 그리기

부채꼴을 말면 두 직선변이 모선이 되고 호는 밑면 둘레가 되어 모선 ℓ = 4.

ℓ = 4 인치
2STEP 2

호의 길이 구하기

반지름 4 원의 둘레는 8π 이고, 그 34\frac{3}{4} 인 호의 길이는 6π.

호 길이 = 3/4 · 8π = 6π 인치
3STEP 3

호를 밑면 둘레로 보기

이 호가 밑면 원의 둘레이므로 2π r = 6π 에서 밑면 반지름 r = 3.

2π r = 6π → r = 3
4STEP 4

원뿔 높이 구하기

높이, 밑면 반지름 3, 모선 4가 직각삼각형이라 피타고라스로 h² + 9 = 16 에서 h = √7.

h² + r² = ℓ² → h² + 9 = 16 → h = √(7)
5STEP 5

부피 공식 쓰기

r = 3, h = √7을 V = 13\frac{1}{3} π r² h 에 대입하면 13\frac{1}{3} π · 9 · √7 = 3π√7.

V = 1/3 π r² h = 1/3 π · 9 · √(7) = 3π√(7)
6STEP 6

선택지와 맞춰 보기

3π√7 은 보기 (C)이다.

3π√(7) → (C)
정답
3 π √7
기하적으로 점검. 반지름 4 인 원 전체로 만들면 r = 4 (납작한 원판). 반원으로 만들면 r = 2 (뾰족한 원뿔). 34\frac{3}{4} 면 그 사이로 r = 3이 자연스럽다. ✓ r = 3, 모선 4 면 h = √(16 - 9) = √(7) ≈ 2.65 — 모선보다 짧음. ✓ 수치로 V = 3π√(7) ≈ 3 · 3.14 · 2.65 ≈ 24.9 세제곱 인치 — 작은 종이 원뿔로 그럴듯한 크기. ✓
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 원뿔 공식만 알면 풀 수 있어요 — 34\frac{3}{4} 부채꼴의 호 6π 가 밑면 둘레라 r = 3; 모선 4와 반지름 3으로 피타고라스 하면 높이 √(7); 그래서 V = 13\frac{1}{3}π(9)(√(7)) = 3π√(7).

  • 펼친 부채꼴 그리기
  • 호의 길이 구하기
  • 호를 밑면 둘레로 보기
  • 원뿔 높이 구하기
  • 부피 공식 쓰기
  • 선택지와 맞춰 보기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 유형의 문제예요. 태그는 이 문제와 겹치는 부분이에요.