경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2020B · #12

학년 8 arithmetic

유형 Base-Representation Digit Count └ 세부 유형 Leading-Zero Complement

exponentsdecimal-arithmeticdigit-countingestimation identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponentsdecimal-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

\frac{1}{20²⁰}

을 소수로 쓰면 소수점 뒤에 0이 죽 늘어선 뒤 9가 나오고 그 뒤로도 숫자가 이어집니다. 처음 등장하는 9 앞에는 0이 몇 개 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기): 분모 20²⁰을 2²⁰ · 10²⁰로 분리해 각 부분을 따로 처리 — 10²⁰은 소수점만 20 칸 옮기고, 2²⁰만 10의 거듭제곱 보정으로 환산하면 됨. 도구 #9(더 쉬운 문제): 큰 2²⁰ 대신 작은 사실 2¹⁰ = 1024로 자릿수를 구함. 도구 #3(가능성 지우기): 자릿수를 세고 나면 선택지 중 하나만 일치.

1STEP 1

20을 2와 10으로 나누기

분모를 2²⁰ · 10²⁰ 으로 다시 쓰기 — 10²⁰은 소수점만 옮기고, 2²⁰이 첫 0이 아닌 자리를 결정.

20²⁰ = (2 · 10)²⁰ = 2²⁰ · 10²⁰

2STEP 2

거듭제곱의 자릿수 세기

쉬운 사실 2¹⁰ = 1024를 제곱하면 2²⁰ = 1,048,576, 7 자리 수.

2²⁰ = 1024² = 1,048,576 (7 자리)

3STEP 3

지수 표기로 합치기

$\frac{1}{1,048,576}$ 은 $\frac{1}{10⁶}$ 보다 살짝 작아 $\frac{1}{2²⁰}$ ≈ 9.5 · 10⁻⁷ — 9가 소수 7 번째 자리.

1/2²⁰ = 1/1,048,576 ≈ 9.537 · 10⁻⁷

4STEP 4

소수점 20자리 더 옮기기

10⁻²⁰을 곱하면 모두 오른쪽으로 20 칸 이동, 9가 7 번째에서 27 번째 자리로.

1/20²⁰ ≈ 9.537 · 10⁻²⁷

5STEP 5

앞의 0 개수 세기

첫 0이 아닌 자리가 27 번째이므로 그 앞의 0은 27 - 1 = 26 개.

앞 0 개수 = 27 - 1 = 26

6STEP 6

선택지와 맞춰 보기

(D) 만 26과 일치 — 나머지는 자릿수나 자리 이동을 한두 칸 놓친 값.

26 → (D)

정답

어림: 20²⁰ = (2 · 10)²⁰ = 2²⁰ · 10²⁰ ≈ 10⁶ · 10²⁰ = 10²⁶ 이므로

\frac{1}{20²⁰}

≈ 10⁻²⁶ — 첫 0이 아닌 자리가 소수 26 ~ 27 번째 부근, 즉 앞 0의 개수는 25, 26, 27 중 하나. 더 정밀히 보면 2²⁰이 10⁶ 보다 약간 크므로 첫 0이 아닌 자리는 27 번째로 미끄러져 0의 개수는 26. (D)와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 과학 표기만 알면 풀 수 있어요! 20²⁰ = 2²⁰ · 10²⁰로 분리. 10²⁰ 부분은 0을 20 개 만들어 주고, 2²⁰ = 1,048,576는 7 자리이므로 $\frac{1}{2²⁰}$ ≈ 9.5 · 10⁻⁷ — 9가 소수 7 번째 자리. 10⁻²⁰ 만큼 더 밀려 9가 27 번째 자리에 도착, 앞 0의 개수는 27 - 1 = 26, 답 (D).

20을 2와 10으로 나누기
거듭제곱의 자릿수 세기
지수 표기로 합치기
소수점 20자리 더 옮기기
앞의 0 개수 세기
선택지와 맞춰 보기

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