경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2023A · #5
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AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 깔끔하게 나눠줍니다: (A) 지수 법칙으로 모든 밑을 소수의 거듭제곱으로 다시 쓰고, (B) 2와 5를 짝지어 10의 거듭제곱으로 뽑아내고, (C) (나머지 인수) × 10¹⁵의 자리 수를 셉니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 (C)를 받쳐줍니다 — 정수에 10¹⁵를 곱하면 끝에 0이 정확히 15 개 붙는다는 자리값 패턴. 대수(#13)는 여기 어울리지 않습니다 — 이것은 순수한 지수·자리값 문제.
각 밑을 소인수로 쪼개기
각 밑을 소수로: 8 = 2³, 15 = 3·5. 지수 법칙으로 2¹⁵ · 5¹⁰ · 3⁵ · 5⁵ 로 펼칩니다.
지수를 곱과 거듭제곱 안으로 밀어 넣는 것은 8학년 "정수 지수의 성질" 핵심 동작 — 식이 깔끔한 소인수분해로 정리됩니다.
8.EE.A.1Identify Subproblems같은 밑끼리 모으기
두 5 거듭제곱의 지수를 더해 (5¹⁰ · 5⁵ = 5¹⁵) 2¹⁵ · 5¹⁵ · 3⁵ 로 모읍니다.
a^m · aⁿ = a^m+n — 같은 밑이면 지수를 더한다, 8학년 지수 법칙 두 번째 항목.
8.EE.A.1Identify Subproblems2와 5를 짝짓기
aⁿ bⁿ = (ab)ⁿ로 각 2를 5와 짝지어 10 열다섯 개를 만들면 10¹⁵ · 3⁵ 이 남습니다.
2 · 5 = 10을 알아채고 지수끼리 짝짓는 것은 "끝자리 0" 패턴 — 2와 5가 든 곱의 자리 수를 세는 심장부.
2 하나를 5 하나와 짝지으면 10이 되며, 끝에 0이 하나 붙을 뿐이다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 2와 5를 따로 셀 수 있다.
▸ 왜?
그 짝 하나가 10이라는 인수 하나를 만들고, 마지막 자리가 그것을 0으로 기록한다.
남은 3의 거듭제곱 구하기
남은 3⁵을 차례로 곱하면 3⁵ = 243.
3⁵을 차례 곱셈으로 계산하는 것은 6학년 "자연수 지수" 수치 계산.
6.EE.A.1Identify Subproblems자릿수 세기
243에 10¹⁵를 곱하면 뒤에 0이 15 개 붙어, 243 세 자리에 0 열다섯 개 — 3 + 15 = 18 자리.
10의 거듭제곱을 곱하면 자릿수가 왼쪽으로 밀리고 끝에 0이 채워진다 — 5학년 "10의 거듭제곱과 소수점 자리" 패턴 그대로.
5.NBT.A.2Look For A Pattern이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "정수 지수 법칙" 만 알면 풀 수 있어요 — 모든 2를 5와 짝지어 10을 만들고, 남은 수 곱하기 10¹⁵가 자리 수를 알려줍니다.
- 각 밑을 소인수로 쪼개기
- 같은 밑끼리 모으기
- 2와 5를 짝짓기
- 남은 3의 거듭제곱 구하기
- 자릿수 세기
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