경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2011 · #15
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
4⁵ · 5¹⁰을 그대로 계산하면 큰 수가 나오지만, 사실 밑 4 안에는 2가 숨어 있습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 4 = 2²으로 다시 적으면 밑이 2와 5가 되고, 2와 5가 짝을 이루어 10이 되므로 전체가 깔끔한 10의 거듭제곱으로 정리됩니다. 그러면 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 자연스럽게 따라옵니다 — 4⁵ · 5¹⁰의 자릿수를 직접 세는 것보다 10¹⁰의 자릿수를 세는 것이 훨씬 쉽고, 10ⁿ 의 자릿수는 n+1 이라는 규칙도 이미 알고 있기 때문입니다.
4를 2의 거듭제곱으로 바꾸기
4 = 2² 이므로 거듭제곱의 거듭제곱 법칙으로 4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰ 입니다.
밑을 4 에서 2로 바꾸면 옆에 있는 5¹⁰의 지수와 맞춰 줄 수 있습니다.
6.EE.A.1Change Focus Count The Complement10의 거듭제곱으로 묶기
이제 두 인수의 지수가 모두 10 이므로 2¹⁰ · 5¹⁰ = (2·5)¹⁰ = 10¹⁰ 입니다.
2 마다 짝이 되는 5가 있어서 함께 10이 되고, 식 전체가 10¹⁰으로 줄어듭니다.
곱 4⁵ · 5¹⁰ 은 하나의 거듭제곱 10¹⁰ 으로 다시 쓸 수 있다.
▸ 왜?
먼저 4⁵ 이 2¹⁰ 으로 바뀌어 곱이 2¹⁰ · 5¹⁰ 이 되고, 이제 두 거듭제곱은 같은 지수 10 을 공유한다.
▸ 왜?
4 = 2 · 2 이므로 4⁵ 을 풀어 쓰면 2 · 2 다섯 벌, 즉 2 열 개를 곱한 2¹⁰ 이다.
▸ 왜?
그 2 들을 세는 것은 둘씩 다섯 묶음을 세는 것이고, 둘씩 다섯 묶음은 열이다.
▸ 왜?
2 열 개는 어떻게 묶어 하나의 곱으로 모아도 결과가 달라지지 않는다.
▸ 왜?
이제 2¹⁰ 은 2 열 개이고 5¹⁰ 은 5 열 개이므로, 각 2 를 5 하나와 나란히 두면 2 · 5 = 10 이 열 벌 생겨 10¹⁰ 이 된다.
▸ 왜?
인수들의 순서를 바꾸어 모든 2 가 5 옆에 서게 할 수 있다.
▸ 왜?
이웃한 2 와 5 를 하나의 인수 (2 · 5) 로 열 번 다시 묶어도 곱은 달라지지 않는다.
자릿수 규칙 찾기
더 쉬운 질문으로 바꿉니다 — 10¹⁰의 자릿수. 규칙상 10ⁿ의 자릿수는 n+1, 즉 1 뒤에 0이 n 개입니다.
10을 곱할 때마다 끝에 0이 하나 붙는다는 5학년 자릿값 패턴 그대로입니다.
5.NBT.A.2Solve An Easier Related Problem자릿수 규칙 적용하기
n = 10을 넣으면 10¹⁰의 자릿수는 10 + 1 = 11 입니다.
앞쪽 1 한 자리에 뒤쪽 0 열 자리를 더하면 총 11 자리입니다.
5.NBT.A.2Solve An Easier Related Problem지수가 같은 2와 5가 보이면 짝지어 10으로 묶어 보세요 — 답이 10의 거듭제곱으로 곧장 정리됩니다.
- 4를 2의 거듭제곱으로 바꾸기
- 10의 거듭제곱으로 묶기
- 자릿수 규칙 찾기
- 자릿수 규칙 적용하기
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