경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2025 · #16
학년 4 countingarithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
1부터 20까지 스무 개의 수를 일렬로 늘어놓고 보면 핵심 구조가 잘 안 보입니다. 도구 #15(다르게 정리하기)의 아이디어는 — 작은 수와 그보다 10 큰 '짝꿍' 을 묶어 (1, 11), (2, 12), …, (10, 20)의 10 개 짝으로 재배열하는 것입니다. 그러면 '차가 10 인 두 수를 같이 뽑지 마라' 라는 조건은 '같은 짝의 두 수를 동시에 뽑지 마라' 라는 훨씬 단순한 조건으로 바뀝니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 이 아이디어가 정말 맞는지 작은 버전에서 확인하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 총합 = (작은 짝꿍의 합) + (큰 짝꿍을 고른 횟수만큼 × 10 보너스)로 깔끔하게 계산합니다.
10만큼 차이 나는 짝 만들기
스무 개 수를 차이 10 인 짝꿍 10 개로 다시 묶으면, 규칙은 '한 짝꿍에서 둘 다 뽑지 마라' 가 됩니다.
수의 나열을 일정한 규칙(+10 짝)으로 다시 묶어보는 것은 4학년 '규칙에 따라 수의 패턴 만들기' 활동 그대로입니다.
4.OA.C.5Organize Information In More Ways짝마다 하나씩 고르기
10 번 뽑는데 짝꿍도 정확히 10 개라 한 짝꿍에서 둘을 못 뽑으니, 각 짝꿍에서 정확히 하나씩 뽑습니다.
10 번의 뽑기 문제를 '짝꿍 하나에서 하나 고르기' 10 개의 작은 문제로 쪼개는 것은 4학년 다단계 문장제 풀이의 핵심 동작입니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems작은 경우로 시험하기
짝꿍 4 개짜리 작은 버전으로 확인하면 어떤 합법적 선택도 합이 18 로 같아 총합이 안 변함을 확인합니다.
10 개 짝꿍 대신 4 개 짝꿍의 작은 버전으로 먼저 풀어 보는 것은 4학년 '비슷한 더 쉬운 문제로 줄이기' 습관입니다.
4.OA.A.3Solve An Easier Related Problem원래 문제로 돌아가기
각 짝꿍에서 하나씩 뽑되 큰 짝을 고르면 10 씩 늘고, 큰 짝을 정확히 5 번 골랐으니 보너스는 10 × 5 = 50 입니다.
'기본값 + 보너스' 로 나누어 계산하는 것은 4학년 다단계 문장제 풀이 전략입니다.
허용된 수를 어떻게 고르더라도 열 개의 합은 하나로 정해진다: 낮은 짝 1부터 10까지의 합에, 높은 쪽에서 뽑은 다섯 번의 선택마다 10씩 더한 값이다.
▸ 왜?
열 개의 짝 (1,11), (2,12), …, (10,20) 각각에서 정확히 한 수만 뽑으므로, 모든 짝이 한 번씩 기여한다 — 그 짝의 낮은 수이거나, 그 낮은 수에 10을 더한 값이다.
▸ 왜?
같은 짝에서 둘을 뽑을 수 없는데, 만약 열 개의 짝 중 하나라도 쓰이지 않으면 열 번의 뽑기가 아홉 개의 짝에만 들어가야 한다 — 짝보다 뽑기가 많아 둘이 같은 짝을 써야 하고, 이는 규칙을 어긴다. 그래서 어느 짝도 겹치지 않고 비지도 않는다: 열 개의 짝이 각각 정확히 한 번씩 쓰인다.
▸ 왜?
각 뽑기는 그 짝의 낮은 수이고, 높은 수를 뽑았을 때만 10이 더해지므로, 전체 합은 열 개의 낮은 수 전부와 높은 뽑기마다의 10 하나로 나뉜다.
▸ 왜?
합의 부분들은 다시 묶을 수 있어서, 모든 낮은 수를 한 덩어리로, 모든 추가 10을 다른 덩어리로 모아도 전체는 변하지 않는다.
▸ 왜?
추가되는 양은 높은 뽑기마다 같은 10이 반복된 것이고, 같은 양이 정해진 횟수만큼 반복되면 그 양 곱하기 개수가 된다.
작은 수들과 보너스 더하기
작은 짝꿍 합 1+2+…+10 = 55에 보너스 50을 더하면 105 입니다.
여러 자리 자연수를 막힘없이 더하는 것(55 + 50 = 105)은 4학년 NBT 의 핵심 기술입니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 '수의 규칙 찾기' 만 알면 풀 수 있어요 — 작은 수마다 10 큰 짝꿍을 찾아 묶기만 하면 답이 톡 튀어 나와요!
- 10만큼 차이 나는 짝 만들기
- 짝마다 하나씩 고르기
- 작은 경우로 시험하기
- 원래 문제로 돌아가기
- 작은 수들과 보너스 더하기
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.
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