AMC 10 · 2021 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglessimilar-figuresangle-sum-triangleperimeter identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

등각육각형(모든 내각이 같음) ABCDEF 에서 모든 내각은 120° 입니다. 한 칸 건너 변들 — 먼저 AB, CD, EF, 그다음 BC, DE, FA — 을 각각 연장하면 두 개의 큰 삼각형이 만들어지고, 그 넓이가 192√(3) 과 324√(3) 입니다. 육각형의 둘레를 m + n√(p) 꼴(p 는 제곱수에 의해 나누어지지 않음)로 나타낼 때 m + n + p 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~47

(B)

~52

(C)

~55

(D)

~58

(E)

~63

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) — 육각형을 그리고 한 칸 건너 변들을 연장하면 큰 삼각형이 나오고 각 꼭짓점에서 정삼각형 "칩"이 잘려나가는 모양이 한눈에 보임. 도구 #9(더 쉬운 문제) — 정육각형이면 두 넓이가 같아야 하므로(192 = 324 가 동일해야 함) 이 관계의 형태가 정삼각형 넓이 공식 s² √(3)/4 에 의존함을 확인. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 두 넓이에서 두 큰 삼각형 변 길이를 각각 복원, 그림에서 육각형 변과 큰 삼각형 변의 관계 읽기. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 둘레는 두 큰 삼각형 변 길이의 합으로 나오는 일차연립방정식 해.

1STEP 1

각 내각이 120° 이므로 모서리마다 60° 칩이 잘려, 두 큰 바깥 삼각형이 모두 정삼각형.

각 내각=120° → 외각=60° → 두 큰 삼각형 모두 정삼각형

2STEP 2

정삼각형 넓이 = s²· $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 를 거꾸로: 두 삼각형의 변은 s₁ = 16√(3), s₂ = 36.

s₁ = 16√(3), s₂ = 36

3STEP 3

큰 삼각형 한 변 = 육각형 변 1개 + 칩 변 2개; 세 변을 합쳐 P₁ + 2 P₂ = 108, 2 P₁ + P₂ = 48√(3).

P₁ + 2 P₂ = 108, 2 P₁ + P₂ = 48√(3)

4STEP 4

정육각형으로 검산: P₁ = P₂ 라 두 식이 3 P₁ = 3 s 로 합쳐져 공식이 맞음을 확인.

정육각형: P₁ = P₂ → 3 P₁ = 3 s₁ = 3 s₂ ✓

5STEP 5

소거로 연립을 풀면 P₁ = 32√(3) - 36, P₂ = 72 - 16√(3).

P₁ = 32√(3) - 36, P₂ = 72 - 16√(3)

6STEP 6

두 부분합을 더해 둘레 P = 36 + 16√(3), 즉 m = 36, n = 16, p = 3.

P = 36 + 16√(3) → m + n + p = 36 + 16 + 3 = 55

정답

~55

각 P_i 가 양수여야 함. P₁ = 32√(3) - 36 ≈ 55.4 - 36 = 19.4 ＞ 0, P₂ = 72 - 16√(3) ≈ 72 - 27.7 = 44.3 ＞ 0 — 육각형이 실제로 만들어짐. 두 큰 삼각형 변 길이 16√(3) ≈ 27.7 과 36 이 다르므로 넓이도 다른 것(192√(3) 대 324√(3))과 일관. 넓이 비

\frac{324}{192}

\frac{27}{16}

, 변 길이 비 √(

\frac{27}{16}

) = 3√(3)/4 ≈ 1.30 =

\frac{36}{27.7}

— 일치. 답 55 가 (C) 와 정확히 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 각 추론과 2 × 2 연립방정식만 있으면 풀려요 — 한 칸 건너 변들을 연장하면 모든 모서리 칩과 두 큰 삼각형이 정삼각형(180° - 120° = 60° 이므로), 넓이에서 변 길이 s₁ = 16√(3), s₂ = 36 을 복원하고 일차방정식 P₁ + 2 P₂ = 108, 2 P₁ + P₂ = 48√(3) 을 풀어 둘레 = 36 + 16√(3), m + n + p = 55.

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