AMC 10 · 2021 · #12

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

prime-factorizationdivisor-sumdivisor-countratio-proportion identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: prime-factorizationdivisor-count

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

N = 34 · 34 · 63 · 270 일 때, (홀수 약수의 합) : (짝수 약수의 합) 의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~1 : 16

(B)

~1 : 15

(C)

~1 : 14

(D)

~1 : 8

(E)

~1 : 3

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기): (a) N 의 소인수분해로 2 의 지수를 알아내고, (b) 홀수 약수만의 합을 묶고, (c) 전체-홀수 = 짝수 합으로 정리. 도구 #9(쉬운 문제)로 작은 예 N = 2³ · 3 = 24 에서 약수를 직접 적어 구조 확인. 도구 #5(패턴): 모든 약수는 (2 의 거듭제곱) × (홀수 약수) 이므로 짝수 약수 합은 홀수 약수 합의 (2 + 4 + 8) = 14 배. 도구 #3으로 (C) 선택.

1STEP 1

각 인수를 소인수분해해 같은 소수끼리 묶으면, N 의 2 의 거듭제곱은 2³.

N = (2² · 17²)(3² · 7)(2 · 3³ · 5) = 2³ · 3⁵ · 5 · 7 · 17²

2STEP 2

M = 24 = 2³ · 3 검증: 홀수 합 4, 짝수 합 56, 비 1 : 14 — 짝수 약수 = 홀수 × (2,4,8).

sum even(24) = (2+4+8)(1+3) = 14 · 4 = 56

3STEP 3

모든 약수 = (2⁰~2³) × (홀수 약수) 이므로, 짝수 약수 합 = (2 + 4 + 8) S_odd = 14 S_odd.

S_even = (2 + 4 + 8) S_odd = 14 S_odd

4STEP 4

비 만들기: S_odd : S_even = S_odd : 14 S_odd = 1 : 14; S_odd 값은 약분돼 사라짐.

\frac{S_odd}{S_even}

\frac{1}{14}

5STEP 5

선택지 중 1 : 14 는 (C); 나머지는 2 의 지수를 잘못 세거나 2⁰ 을 짝수 합에 더한 오답.

1 : 14 → (C)

정답

~1 : 14

2 의 지수 검산: 34 · 34 에서 2², 270 에서 2¹ → 합쳐 2³. 약수합 공식 σ(2³) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 1 + 14 — 홀수 부분 1 과 짝수 부분 14 가 정확히 분리. 비 1 : 14 는 2³ · (홀수) 형태의 어떤 수에도 그대로 — N 의 2 의 지수만이 이 비를 결정한다는 사실과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 비의 감각만 알면 풀 수 있어요! 소인수분해로 N = 2³ · 3⁵ · 5 · 7 · 17² — 비는 2³ 부분만이 결정. 모든 짝수 약수 = (2, 4, 8 중 하나) × (홀수 약수) 이므로, 짝수 약수 합은 홀수 약수 합의 (2+4+8) = 14 배. 비 1 : 14, 답 (C).

비슷한 유형 더 풀어보기