경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2012 · #20
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
계산을 시작하기 전에 세 분수의 구조를 먼저 봅니다. 분자는 5, 7, 9이고 분모는 19, 21, 23 — 모든 분모가 분자보다 정확히 14 만큼 큽니다. 그래서 세 분수는 모두 n/(n+14) 라는 한 가족에 속하는 셈입니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 이 가족의 성질 하나만 관찰하면 세 분수를 일일이 짝지어 가위곱하지 않고도 순서를 결정할 수 있습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 보조 — 7/21 = 1/3 이라는 친숙한 기준점으로 줄여서, 나머지 두 분수가 1/3 보다 큰지 작은지로 답을 검증합니다.
공통 구조 찾기
각 분모를 (분자) + 14로 다시 보면 세 분수 모두 꼴입니다 (n = 5, 7, 9).
공통 형태에 이름을 붙이는 게 도구 #5의 핵심 — 패턴을 정의하면 규칙 하나로 세 분수를 한꺼번에 정렬할 수 있습니다.
4.NF.A.1Look For A Pattern1에서 빼는 꼴로 바꿔 쓰기
항등식 = 1 - 로 보면, 빼는 조각의 분자는 14로 고정이고 분모 n+14만 변합니다.
분수를 "1 에서 일부를 뺀 모양" 으로 바꾸면, 원래 분수의 순서가 빼는 조각의 순서로 단순해집니다.
5.NF.B.3Look For A Pattern남은 조각 크기 비교하기
n 이 커지면 분모 n+14도 커져 는 작아지고, 1 에서 더 작은 값을 뺄수록 결과는 커집니다.
"분자가 같으면 분모가 클수록 분수는 작아진다" 는 4학년 분수 감각을, 이번에는 큰 수에 그대로 적용한 것뿐입니다.
각 분수를 1 - 14/(n+14)로 다시 쓰면, 남는 조각들은 14/19 ＞ 14/21 ＞ 14/23의 순서이고, 같은 1에서 더 큰 조각을 덜어내면 더 작은 값이 남으므로 1 - 14/19 ＜ 1 - 14/21 ＜ 1 - 14/23이다.
▸ 왜?
분수와 그 남는 조각은 하나의 전체 1을 이루는 두 부분이다 — n/(n+14) + 14/(n+14) = 1인데, 이는 아래쪽 n+14가 위쪽 n에 여분 14를 더한 것이고 빠진 것도 겹쳐 센 것도 없기 때문이다 — 그래서 각 분수는 정확히 1에서 그 남는 조각을 뺀 것이고, 같은 전체에서 더 큰 조각을 덜어내면 더 작은 나머지가 남아야 한다.
▸ 왜?
남는 조각들은 모두 같은 위 14를 가지지만 커지는 아래 19, 21, 23 위에 놓여 있고, 정해진 양을 더 많은 같은 크기 조각으로 나누면 각 조각이 더 작아지므로 14/19 ＞ 14/21 ＞ 14/23이다.
▸ 왜?
14/d는 한 조각 1/d을 14번 모은 것이고, 그 d개의 같은 조각은 바로 하나의 전체 1이 나뉜 것이므로, d가 커지면 그 하나의 전체를 더 많은 조각으로 나누게 되어 모든 조각이 더 작아진다.
원래 분수 순서로 되돌리기
빼는 조각이 작을수록 값은 크므로 n 이 클수록 도 커져 , , 순으로 커집니다.
한 개의 변하는 양(14/(n+14))의 순서로부터 여러 수의 순서를 결정하는 것은 6학년 유리수 정렬 표준입니다.
6.NS.C.7Look For A Pattern3분의 1과 견주어 보기
도구 #9로 확인: = , 가위곱하면 ＜ , ＞ 로 패턴과 일치합니다.
가운데 분수를 익숙한 1/3로 줄여서 쉬운 비교부터 하는 것이 도구 #9 — 작은 문제를 먼저 풀어 큰 결론을 뒷받침합니다.
4.NF.A.2Solve An Easier Related Problem계산 전에 숨은 구조부터 보세요 — 세 분수가 모두 라는 걸 알아채는 순간, 정렬은 6학년 한 줄짜리 관찰로 끝납니다.
- 공통 구조 찾기
- 1에서 빼는 꼴로 바꿔 쓰기
- 남은 조각 크기 비교하기
- 원래 분수 순서로 되돌리기
- 3분의 1과 견주어 보기
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