AMC 10 · 2021 · #19

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

mean-median-mode-rangesystems-of-equationslinear-equations-two-vardecimal-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangesystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

S 는 양의 정수들로 이루어진 유한 집합. 평균에 관한 세 조건이 주어집니다: 최댓값 G 를 빼면 평균이 32, G 와 최솟값 L 을 모두 빼면 평균이 35, G 를 다시 넣으면 (L 만 빠진 상태) 평균이 40. 또한 G - L = 72. 원래 집합 S 전체의 평균을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

36.2

(B)

36.4

(C)

36.6

(D)

36.8

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13 (대수) — 네 문장이 그대로 n, Σ, G, L 의 네 방정식으로 번역됩니다. 일단 식이 서면 깔끔: 평균이 "n - 1 로 나눈 두 식" 은 G 를 빼느냐 L 을 빼느냐만 다르므로, 두 식을 빼면 G - L = 8(n - 1) 이 바로 나오고 조건 (4) 와 결합해 n 이 한 번에 결정. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 가 미지수 순서를 정해줍니다: 먼저 n, 다음 L (n - 2 식에서), 그다음 Σ (다시 n - 1 식에 대입). 마지막에 Σ / n. 각 단계는 신중한 계산만 필요 — 복잡한 대수 조작 없이.

1STEP 1

n = S 의 정수 개수, Σ = 전체 합. 네 문장을 네 대수 방정식으로 번역.

(1) Σ - G &= 32(n-1) ; (2) Σ - G - L &= 35(n-2) ; (3) Σ - L &= 40(n-1) ; (4) G - L &= 72

2STEP 2

(3)에서 (1)을 빼면 합이 상쇄되어 G - L = 8(n - 1) 만 남습니다.

(3) - (1): G - L = (40 - 32)(n - 1) = 8(n - 1)

3STEP 3

(4)와 합치면 72 = 8(n - 1), n - 1 = 9, 그래서 n = 10.

72 = 8(n - 1) → n - 1 = 9 → n = 10

4STEP 4

n = 10을 (1), (2)에 대입: Σ - G = 288, Σ - G - L = 280, 그래서 L = 8.

Σ - G = 288, Σ - G - L = 280 → L = 8

5STEP 5

L = 8을 (3)에 대입: Σ - 8 = 360, 그래서 Σ = 368.

Σ = 40 · 9 + L = 360 + 8 = 368

6STEP 6

S 전체 평균: $\frac{Σ}{n}$ = $\frac{368}{10}$ = 36.8, 즉 (D).

\frac{Σ}{n}

\frac{368}{10}

= 36.8 → (D)

정답

36.8

G 로 검증: (4) 에서 G = L + 72 = 8 + 72 = 80. (1) 확인: Σ - G = 368 - 80 = 288 = 32 · 9 ✓. (2) 확인: Σ - G - L = 368 - 80 - 8 = 280 = 35 · 8 ✓. (3) 확인: Σ - L = 368 - 8 = 360 = 40 · 9 ✓. 네 조건 모두 성립. 36.8 이라는 답이 32 (최저 보고된 평균) 와 40 (최고) 사이에 자연스럽게 위치 — 균형 잡힌 평균이 보일 만한 위치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 "합 = 평균 × 개수" 방정식만 알면 풀 수 있어요! n - 1 짜리 두 평균을 빼서 G - L = 8(n-1) = 72, 그러니 n = 10. 그러면 Σ = 368 이고 답은 $\frac{368}{10}$ = 36.8.

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