경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2019 · #16

학년 6 rate-ratioalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

ratelinear-equations-one-varfraction-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratelinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

치앙은 이미 시속 30 마일로 15 마일을 달렸습니다. 이제 시속 55 마일로 추가 거리 d 마일을 더 달려서, 전체 여정의 평균 속력이 정확히 시속 50 마일이 되도록 만들고 싶습니다. 더 달려야 하는 거리 d 는 몇 마일일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

110

(E)

135

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

객관식 문제이고 각 선택지를 대입하면 평균 속력이 깔끔하게 계산되므로, 다섯 후보를 직접 넣어 보는 도구 #6(추측하고 확인하기)이 가장 빠른 정공법입니다 — (15+d)/(0.5 + d/55) = 50 이라는 유리식 방정식을 대수로 푸는 것보다 훨씬 가볍습니다. 객관식이라면 자연스럽게 도구 #3(가능성 지우기)도 따라옵니다 — 하나가 살아남을 때까지 후보를 지워 나갑니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 마일과 시간, mph 단위를 일관되게 맞춰서 "시속 50마일" 과 비교가 의미를 갖도록 잡아 주는 역할입니다.

1STEP 1

정해진 시간 적기

첫 구간은 고정: 15 ÷ 30 = 0.5 시간, 어떤 d 든 총 거리 15 + d, 총 시간 0.5 + $\frac{d}{55}$ 시간.

t₁ = (15 마일)/(30 mph) = 0.5 시간, 평균 속력 = (15 + d)/(0.5 + d/55)

단위 (마일 ÷ mph = 시간)를 따라가면 어떤 수를 더하고 어떤 수로 나눠야 할지가 그대로 보입니다 — 6학년 비율·비례 추론입니다.

추가 거리 d가 무엇이든, 전체 여정의 평균 속력은 총 거리 15 + d를 총 시간 0.5 + d/55 시간으로 나눈 값과 같다.

▸ 왜?

전체 여정의 평균 속력은 같은 총 거리를 같은 총 시간에 달릴 수 있는 하나의 일정한 속력을 뜻하므로, 총 거리를 총 시간으로 나눈 값과 같다 — 30과 55를 그냥 평균낸 값이 아니다.

▸ 왜?

일정한 속력으로 달리면 이동 거리는 그 속력을 매 시간마다 한 번씩 더한 것이므로, 거리 = 속력 × 시간이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

거리 = 속력 × 시간에서 일정한 속력을 되찾으려면 거리를 시간으로 나누면 되는데, 나눗셈이 곱셈을 되돌리기 때문이다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

총 거리가 15 + d인 이유는 15마일인 첫 구간과 d마일인 둘째 구간이 빈틈도 겹침도 없이 끝과 끝으로 이어지기 때문이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

총 시간이 0.5 + d/55 시간인 이유는 첫 구간의 시간과 둘째 구간의 시간이 더해져 전체 여정의 시간이 되고, 첫 구간은 15 ÷ 30 = 0.5 시간이 걸리기 때문이다.

▸ 왜?

두 구간은 빈틈도 겹침도 없이 잇달아 일어나므로, 그 시간들이 더해져 전체 여정의 시간이 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

각 구간의 시간은 그 구간의 거리를 속력으로 나눠 얻는데, 나눗셈이 거리 = 속력 × 시간이라는 곱셈을 되돌리기 때문이다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

6.RP.A.3Analyze The Units

2STEP 2

가운데 선택지 넣어 보기

가운데 후보 d = 90 대입: 105 ÷ 2.14로 평균 ≈ 49.2 mph — 50에 못 미치니 더 큰 d 필요.

105/2.136 ≈ 49.2 mph ＜ 50

3STEP 3

더 작은 선택지 지우기

평균 속력은 d 와 함께 커지므로 90 보다 작은 45, 62는 더 크게 실패 — 지우면 110과 135만 남습니다.

d = 45, 62, 90 모두 평균 ＜ 50 mph → 탈락

4STEP 4

110마일 넣어 보기

d = 110 대입: 125 ÷ 2.5 = 정확히 50 mph — 총 거리 125마일, 총 시간 2.5시간으로 딱 맞습니다.

125/2.5 = 50 mph ✓

5STEP 5

가장 큰 선택지 지우기

d = 135 대입: 평균 ≈ 50.8 mph 로 50을 넘겨 초과 — 따라서 110이 유일한 답입니다.

150/2.955 ≈ 50.8 mph ＞ 50 → (D)

정답

110

흔한 오답 직감은 30과 55를 단순 평균해서 42.5가 나오니까 "50은 불가능하다" 라고 단정하는 것입니다. 하지만 d 는 두 번째 구간만 늘릴 뿐이고, d 가 작으면 느린 30 mph 구간(시간으로 0.5 시간)이 시간상 더 큰 비중을 차지합니다. 시간 가중 평균을 50까지 끌어올리려면 빠른 구간이 여정을 압도해야 하고, 그러려면 55 mph 로 무려 2 시간(즉 110 마일)을 달려야 합니다 — 느린 구간 0.5 시간의 4 배입니다. 50이 30 위로 20, 55 아래로 5 — 즉 4{:}1 위치에 있다는 사실과 정확히 일치하므로 (D) 110이 합리적입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "총 거리 ÷ 총 시간 = 평균 속력" 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!

정해진 시간 적기
가운데 선택지 넣어 보기
더 작은 선택지 지우기
110마일 넣어 보기
가장 큰 선택지 지우기

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정해진 시간 적기

가운데 선택지 넣어 보기

더 작은 선택지 지우기

110마일 넣어 보기

가장 큰 선택지 지우기

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