경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2022A · #16

학년 8 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

polynomial-rootsvieta-formulasvolume-rectangular-prism identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: vieta-formulas

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

삼차다항식 10x³ - 39x² + 29x - 6 의 세 근 a, b, c 가 직육면체의 세 모서리 길이입니다. 모든 모서리를 2 만큼 늘여 만든 새 직육면체의 부피를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{24}{5}$

(B)

$\frac{42}{5}$

(C)

$\frac{81}{5}$

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

두 개의 깔끔한 부분 문제: (a) (a+2)(b+2)(c+2)를 대칭합으로 전개하기, (b) 그 대칭합 값을 비에타 공식으로 다항식 계수에서 곧장 읽어내기. 실제로 근을 구할 필요가 없습니다 — 새 부피는 오직 a+b+c, ab+bc+ca, abc 에만 의존하고, 이 셋은 비에타가 공짜로 알려줍니다. 도구 #7이 쪼개기 구조를 만들고, 도구 #13이 근을 직접 다루지 않고 대수적으로 처리하게 해 줍니다.

1STEP 1

곱을 전개하기

(a+2)(b+2)(c+2)를 전개하면 abc + 2(ab+bc+ca) + 4(a+b+c) + 8 — 대칭합만 남습니다.

(a+2)(b+2)(c+2) = abc + 2(ab+bc+ca) + 4(a+b+c) + 8

2STEP 2

비에트 관계식 읽기

비에타로 계수에서 대칭합을 읽습니다: a+b+c = $\frac{39}{10}$ , ab+bc+ca = $\frac{29}{10}$ , abc = $\frac{6}{10}$ .

a+b+c = 39/10, ab+bc+ca = 29/10, abc = 6/10

3STEP 3

세 값 대입하기

1단계 식에 비에타 값을 대입: $\frac{6 + 58 + 156 + 80}{10}$ = $\frac{300}{10}$ = 30.

V = 6/10 + 2 · 29/10 + 4 · 39/10 + 8 = (6 + 58 + 156 + 80)/10 = 300/10 = 30

4STEP 4

선택지와 맞춰 보기

선택지와 대조: V = 30 은 (D).

V = 30 → (D)

정답

대입 트릭으로 교차 확인: P(x) = 10(x-a)(x-b)(x-c) 이므로 P(-2) = 10(-2-a)(-2-b)(-2-c) = -10(a+2)(b+2)(c+2). 계산하면 P(-2) = 10(-8) - 39(4) + 29(-2) - 6 = -80 - 156 - 58 - 6 = -300. 따라서 (a+2)(b+2)(c+2) = -

\frac{P(-2)}{10}

\frac{300}{10}

= 30 — (D)와 일치. 규모도 그럴듯합니다: abc = 0.6 정도이고 각 모서리에 +2가 더해지므로 지배 항은 4(a+b+c) + 8 = 4 · 3.9 + 8 = 23.6, 나머지 보정 항이 약 6.4로 총합이 30 부근.

💡핵심 정리

세 근을 따로 구할 필요가 없습니다 — 비에타가 합·쌍곱합·곱을 계수에서 곧장 줍니다. (a+2)(b+2)(c+2) = abc + 2(ab+bc+ca) + 4(a+b+c) + 8로 전개하면 그 세 값만 들어가고, 대입하면 $\frac{6}{10}$ + $\frac{58}{10}$ + $\frac{156}{10}$ + $\frac{80}{10}$ = 30 — 답은 (D).

곱을 전개하기
비에트 관계식 읽기
세 값 대입하기
선택지와 맞춰 보기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

곱을 전개하기

비에트 관계식 읽기

세 값 대입하기

선택지와 맞춰 보기

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