AMC 10 · 2023 · #24

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border
area-regular-hexagonarea-trianglesspatial-visualization identify-subproblemseasier-related-problemarea-difference ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
정육각형 프레임 안에 변의 길이 1 인 정육각형 블록 여섯 개가 그림처럼 배치되어 있습니다. 각 블록은 프레임 안쪽 한 변을 따라 놓이고 다른 블록 둘과 맞닿습니다. 프레임의 각 꼭짓점에서 가장 가까운 블록 꼭짓점까지의 거리는 37\frac{3}{7}. 프레임 내부에서 블록이 차지하지 않는 영역의 넓이를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{13 \sqrt{3}}{3}$
(B)
$\frac{216 \sqrt{3}}{49}$
(C)
$\frac{9 \sqrt{3}}{2}$
(D)
$\frac{14 \sqrt{3}}{3}$
(E)
$\frac{243 \sqrt{3}}{49}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 필수 — 큰 정육각형, 안쪽 변마다 붙은 작은 정육각형 여섯 개, 가운데 남는 빈 공간을 그립니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 넓이를 두 조각으로 나눕니다: (큰 육각형 넓이) - (작은 육각형 6개의 넓이). 가장 까다로운 건 큰 정육각형의 변의 길이 S — 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 정공: 37\frac{3}{7} 거리는 일단 무시하고, 작은 육각형 여섯 개가 변의 길이 1 인 중앙 육각형 구멍을 빙 두르는 가장 깔끔한 배치만 봅니다. 중심에서 윗변까지 세로 거리를 더하면 S=3 이 떨어지고, 이 S 값은 37\frac{3}{7} 와 무관함이 확인됩니다.

1STEP 1

큰 육각형 안에 작은 육각형 여섯이 변마다 붙어 중앙 육각형 구멍을 두르는, 프레임과 같은 육각 대칭 배치를 그립니다.

큰 육각형: 변 S, 작은 육각형: 변 1
2STEP 2

빈 공간 넓이는 큰 육각형에서 작은 육각형 여섯을 뺀 것: A_큰 - 6·A_작.

답 = A_큰 - 6 A_작
3STEP 3

정육각형은 정삼각형 6개(변 1, 넓이 √(3)4\frac{√(3)}{4})로 분해되어 작은 육각형 하나는 3√(3)2\frac{3√(3)}{2}, 여섯이면 9√(3).

A_작 = 3√(3)2\frac{3√(3)}{2}, 6 A_작 = 9√(3)
4STEP 4

변 S 는 더 쉬운 배치로: 37\frac{3}{7} 은 무시하고, 작은 육각형 여섯이 변 1 인 중앙 구멍을 두르니 중심에서 윗변까지 거리를 잽니다.

중심에서 윗변까지 거리 = S√(3)2\frac{S√(3)}{2}
5STEP 5

중심에서 위로 쌓으면 구멍의 변심거리에 작은 육각형 높이를 더한 값이 큰 육각형의 변심거리와 같아 S = 3.

S√(3)2\frac{S√(3)}{2} = √(3)2\frac{√(3)}{2} + √(3) = 3√(3)2\frac{3√(3)}{2} → S = 3
6STEP 6

큰 육각형의 넓이. S=3 이면 A_큰 = 3√(3)2\frac{3√(3)}{2} S² = 3√(3)2\frac{3√(3)}{2} · 9 = 27√(3)2\frac{27√(3)}{2}.

A_큰 = 27√(3)2\frac{27√(3)}{2}
7STEP 7

빼서 마무리: A_큰 - 6 A_작 = 27√(3)2\frac{27√(3)}{2} - 9√(3) = 27√(3)2\frac{27√(3)}{2} - 18√(3)2\frac{18√(3)}{2} = 9√(3)2\frac{9√(3)}{2}, 선택지 (C).

27√(3)2\frac{27√(3)}{2} - 9√(3) = 9√(3)2\frac{9√(3)}{2} → (C)
정답
9√(3)2\frac{9 √(3)}{2}
수치 점검. 큰 육각형 넓이 27√(3)2\frac{27√(3)}{2} ≈ 23.4, 작은 육각형 여섯 개 합 9√(3) ≈ 15.6, 빈 공간 ≈ 7.8, 9√(3)2\frac{9√(3)}{2} ≈ 7.79 — 일치. 답이 정확히 큰 육각형 넓이의 13\frac{1}{3} (927\frac{9}{27}=13\frac{1}{3}) 라는 깔끔한 비율은, 배치를 어떻게 늘리든 살아남는 비율이라 37\frac{3}{7} 이 함정이라는 점과 정확히 부합합니다. 분모 49 의 (B), (E) 는 S 가 37\frac{3}{7} 에 의존한다고 잘못 가정했을 때 나오는 값들; (A), (D) 는 변심거리 합산에서 한 계단 어긋난 값.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 정삼각형에 8학년 피타고라스 한 번, 그리고 넓이를 "두 육각형의 차" 로 보는 분해만 알면 풀려요 — 37\frac{3}{7} 은 함정, 가장 깔끔한 배치만 보면 S=3, 남는 넓이는 27√(3)2\frac{27√(3)}{2}-9√(3)=9√(3)2\frac{9√(3)}{2}.

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