경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2024A · #1
학년 7 arithmeticalgebra답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
9901 · 101과 99 · 10101을 그대로 곱하면 다섯 자리 수 두 개가 나와 실수하기 쉬워요. 대신 9901 = 99 · 100 + 1, 10101 = 101 · 100 + 1 처럼 두 큰 수가 모두 "다른 인수 × 100 더하기 1" 구조로 깔끔하게 쪼개진다는 점을 활용합니다. 이것이 도구 #16(변형하기)이 노리는 대칭이에요 — 식을 다시 써서 큰 항이 통째로 상쇄되게 만드는 거죠. 도구 #4(변수 도입하기)로 a = 99, b = 101이라 두면 그 대칭이 한눈에 보이고, 전체 문제가 한 줄짜리 대수 계산으로 줄어듭니다.
두 작은 수 이름 붙이기
a = 99, b = 101로 두면 큰 수는 100a + 1, 100b + 1 이 됩니다.
반복되는 수에 짧은 이름을 붙이는 건 6학년 "문자가 수를 대신한다" 단계 그대로예요. 숨어 있던 대칭이 잘 보이게 됩니다.
되풀이되는 수에 짧은 이름을 붙이면 숨어 있던 맞아떨어지는 조각이 드러난다.
▸ 왜?
각 곱을 펼치면 모든 조각이 모든 조각과 만나므로, 공통된 항이 나란히 놓인다.
▸ 왜?
같은 조각을 지닌 두 양을 빼면 그것이 사라지고 작은 나머지만 남는다.
문자로 다시 쓰기
원래 식을 (100a + 1) · b - a · (100b + 1) 로 다시 쓰면 100 인수가 나란히 놓입니다.
같은 식, 다른 옷차림 — 대입 자체가 값을 바꾸지는 않지만 짝이 맞는 조각들을 나란히 보여줘요.
6.EE.A.3Change Focus Count The Complement두 곱 전개하기
양쪽을 전개하면 100ab + b - 100ab - a 가 되어 100ab 가 부호만 반대로 두 번 나옵니다.
특히 두 번째 괄호 앞의 빼기 부호를 빠뜨리지 않게 조심하면서 분배하세요.
7.EE.A.1Change Focus Count The Complement약분하고 값 넣기
두 100ab 항이 상쇄되고 b - a = 101 - 99 만 남아 정답은 (A)입니다.
무거운 항이 사라지고 나면 작은 +b 와 -a 만 남고, 그 차이는 그냥 2 예요.
7.EE.A.1Change Focus Count The Complement커 보이는 수들도 종종 작은 구조를 숨기고 있어요. 99와 101을 a, b 로 부르면 짝이 맞는 100ab 가 보이고, 그 부분이 상쇄되면서 AMC 10 1번이 7학년 분배법칙 문제로 변신합니다!
- 두 작은 수 이름 붙이기
- 문자로 다시 쓰기
- 두 곱 전개하기
- 약분하고 값 넣기
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