AMC 10 · 2024 · #24

학년 7 probabilitygeometry-3dcounting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

probability-basicspatial-visualizationsystematic-enumerationcombinations-basic identify-subproblemscaseworkeasier-related-problem ↑ 선수 지식: probability-basicspatial-visualization

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

벌이 3차원 공간 (0,0,0) 에서 출발합니다. 공정한 6 면체 주사위를 4 번 굴리고, 각 면 A^±, B^±, C^± 는 해당 축으로 ± 1 만큼 이동을 뜻합니다. 벌이 지나간 네 모서리가 모두 서로 다르고, 동시에 모두 같은 단위 정육면체에 속할 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{54}$

(B)

$frac{7}{54}$

(C)

$frac{1}{6}$

(D)

$frac{5}{18}$

(E)

$frac{2}{5}$

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

성공 조건이 4 단계 이동 위에 두 규칙을 얹어 놓은 구조이므로 자연스러운 공격법은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다. 네 이동 각각에서 합법인 선택지를 따로 세고 곱하면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 일을 더 줄여 줍니다 — 정육면체에는 완전한 대칭이 있어 M₁ = A^+, M₂ = B^+ 를 일반성을 잃지 않고 고정한 다음, 동치인 시작 개수만큼 곱해 주면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)은 두 이동 후의 후보 정육면체 두 개(xy-면을 기준으로 위쪽 하나, 아래쪽 하나)를 머릿속에서 헷갈리지 않게 정리해, P₂ 의 어떤 이웃이 공통의 정육면체 위에 있는지 확인할 때 큰 도움이 됩니다.

1STEP 1

네 번의 독립 굴림은 6⁴ = 1296 가지 동등확률 수열을 만듭니다 — 이것이 분모입니다.

|Ω| = 6⁴ = 1296

2STEP 2

(0,0,0) 에서는 모든 방향이 대칭이라 6 가지 이동 모두 합법한 시작 — M₁ = A^+ 로 고정하고 나중에 6 을 곱합니다.

#{M₁} = 6, P₁ = (1,0,0)

3STEP 3

(1,0,0) 에서는 같은 축이 금지(되돌림·일직선)라 수직인 4 가지 이동 B^±, C^± 만 합법 — M₂ = B^+ 로 고정.

#{M₂} = 4, P₂ = (1,1,0)

4STEP 4

P₀, P₁, P₂ 가 고정되면 세 점을 모두 담는 단위 정육면체는 정확히 2 개 — z = 0 위쪽 하나, 아래쪽 하나.

Cube_+ = {0,1}³, Cube_- = {0,1} × {0,1} × {0,-1}

5STEP 5

(1,1,0) 에서 정육면체에 남는 이동은 3 가지: A^- 는 평면(1), C^± 는 수직(2)으로 각각 한 정육면체로 확정.

#{M₃} = 3 = 1_평면 (A^-) + 2_수직 (C^+, C^-)

6STEP 6

평면 분기: P₃ = (0,1,0) 에서 정육면체에 남는 이동은 3 가지 — B^- 는 정사각형을 닫고 C^± 는 위·아래로 나감.

#{M₄ ∣ M₃ = A^-} = 3

7STEP 7

수직 분기: M₃ = C^± 가 한 정육면체로 확정되면 (1,1,1) 의 아직 쓰지 않은 모서리 2 개만 남음 — A^- 와 B^-.

#{M₄ ∣ M₃ = C^+} = 2, #{M₄ ∣ M₃ = C^-} = 2

8STEP 8

고정한 (M₁, M₂) 마다: 1·3 + 2·2 = 7 완성; 접어둔 6·4 시작을 곱하면 성공 168 가지.

#{성공} = 6 · 4 · (1 · 3 + 2 · 2) = 24 · 7 = 168

9STEP 9

$\frac{168}{1296}$ 을 공약수 24 로 약분하면 $\frac{7}{54}$ → (B).

P =

\frac{168}{1296}

\frac{168 ÷ 24}{1296 ÷ 24}

\frac{7}{54}

→ (B)

정답

\frac{7}{54}

소수 감각:

\frac{7}{54}

≈ 0.130 으로

\frac{1}{54}

≈ 0.019 와

\frac{1}{6}

≈ 0.167 사이에 잘 들어맞습니다. 성공 조건이 꽤 빡빡한 편이라 약 8 번에 한 번 꼴이라는 결과는 자연스럽습니다(두 번째 이동에서 축 반복 금지, 어디서도 반대 이동 금지, 세·네 번째 이동에서 정육면체 소속 조건까지). 셈 자체도 교차 확인: 정육면체 조건을 빼고 서로 다른 모서리만 보면 6 · 5 · 5 · 5 = 750 가지(첫 이동은 자유, 이후는 직전 모서리의 반대만 빼면 됨)이고, 우리 성공 수 168 은 그보다 훨씬 적습니다 — 정육면체 조건이 서로 다른 모서리 조건보다 본래 더 강하므로 예상대로입니다.

💡핵심 정리

경로 문제 위에 여러 규칙이 얹혀 있으면 이동 한 번씩 합법 선택지를 세고, 도형의 대칭으로 처음 몇 이동을 "일반성을 잃지 않고" 고정합니다. 여기서는 성공 6 · 4 · 7 = 168, 전체 1296, 약분하면 $\frac{7}{54}$ 입니다.

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