AMC 10 · 2004 · #15
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
두 나이는 숫자에 의해 서로 묶여 있으므로 도구 #4 (변수 도입하기)로 시작하는 것이 자연스럽다. 한 나이의 십의 자리 숫자를 a, 일의 자리 숫자를 b라 하면 뒤집기는 곧바로 10a+b와 10b+a로 표현된다. 그러면 '5년 뒤 두 배'라는 문장이 하나의 방정식이 된다. 그 방정식 8a=19b+5는 미지의 숫자가 둘인데 식은 하나뿐이므로, 대수 계산을 밀어붙이는 대신 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 b를 0,1,2,… 넣어 보고, 도구 #3 (가능성 지우기)으로 a가 한 자리 숫자가 되지 못하는 값을 모두 버린다. 살아남는 쌍은 단 하나뿐이다.
두 숫자에 이름 붙이기
두 숫자에 이름을 붙이면 두 나이를 한 쌍의 미지수로 쓴다.
두 자리 수는 십의 자리 숫자 곱하기 십 더하기 일의 자리 숫자일 뿐이므로, 숫자를 뒤집으면 이 두 역할이 서로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable말을 방정식으로 바꾸기
5년 뒤에 관한 문장이 하나의 방정식이 된다.
'두 배 나이'는 두 미래 나이 사이의 곱하기 2 관계이고, 이것이 바로 방정식이 기록하는 내용이다.
6.EE.B.7Introduce A Variable하나의 깔끔한 관계로 정리하기
정리하면 두 숫자가 하나의 깔끔한 관계로 묶인다.
같은 항을 모으면 이야기 전체가 a와 b 사이의 깔끔한 하나의 관계로 줄어든다.
6.EE.B.7Introduce A Variableb에 숫자 값을 대입해 보기
한 자리 숫자만 가능하고 맞는 것은 한 쌍뿐이다: 31과 13.
숫자는 0부터 9까지뿐이므로 선택지를 짧게 훑기만 해도 두 숫자를 모두 유효하게 지키는 것은 하나만 남는다.
4.OA.A.3Guess And Check차이 구하기
차이는 18이고 숫자 차의 아홉 배와 일치한다, 보기 (B).
숫자를 뒤집으면 십의 자리와 일의 자리가 맞바뀌므로, 차이는 항상 숫자 차이의 아홉 배이다.
자릿수를 뒤집으면 십의 자리와 일의 자리가 자리를 바꾸므로, 차는 언제나 자릿수 차의 아홉 배다.
▸ 왜?
두 자리 수는 십의 자릿수에 10을 곱한 것에 일의 자릿수를 더한 것이므로, 둘을 바꾸면 그 무게가 바뀐다.
▸ 왜?
두 수는 같은 두 자릿수를 지니므로, 뺄셈에서 공통된 것은 모두 지워지고 무게 차이만 남는다.
두 나이를 10a+b와 10b+a로 쓰고, '5년 뒤 두 배 나이'를 하나의 방정식으로 바꾼 뒤 한 자리 숫자를 대입해 보면 31과 13만 남아 — 차이는 18이다.
- 두 숫자에 이름 붙이기
- 말을 방정식으로 바꾸기
- 하나의 깔끔한 관계로 정리하기
- b에 숫자 값을 대입해 보기
- 차이 구하기