AMC 10 · 2021 · #18

학년 7 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

prime-factorizationfunction-evaluationfraction-arithmeticprime-numbers convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양의 유리수에서 정의된 어떤 함수가 곱을 합으로 바꿉니다. 즉 두 수를 곱한 값의 함숫값이 각 함숫값의 합입니다. 또 모든 소수에서는 함숫값이 그 소수 자신입니다. 주어진 다섯 분수 중에서 함숫값이 음수인 것을 찾으세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{17}{32}$

(B)

$\frac{11}{16}$

(C)

$\frac79$

(D)

$\frac76$

(E)

$\frac{25}{11}$

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13 (대수): f(ab) = f(a) + f(b)와 f(p) = p 가 결합되면 양의 유리수 위에서 f 가 완전히 결정됩니다 — 분자·분모를 소인수분해한 뒤, 분자 쪽 소수 합에서 분모 쪽 소수 합을 빼면 끝. 깨끗한 공식 f((Π p_i^a_i)/(Π q_j^b_j)) = Σ a_i p_i - Σ b_j q_j 가 나오면 도구 #6 (추측하고 확인)으로 다섯 후보를 차례로 대입하고 도구 #3 (가능성 지우기)로 양의 값을 모두 제거. 선택지가 다섯 개뿐인 객관식이므로 전부 확인이 정공법입니다.

1STEP 1

기본 성질 끌어내기

역수의 값은 부호가 반대입니다.

f(1) = 0, f (1/x) = -f(x)

2STEP 2

일반 분수의 값 쓰기

분자의 소수는 더하고 분모의 소수는 뺍니다.

f (N/D) = Σ a_i p_i - Σ b_j q_j

3STEP 3

첫 보기 확인

첫 보기는 양수입니다.

f (17/32) = 17 - 10 = 7 ＞ 0

4STEP 4

둘째 보기 확인

둘째도 양수입니다.

f (11/16) = 11 - 8 = 3 ＞ 0

5STEP 5

셋째 보기 확인

셋째도 양수입니다.

f (7/9) = 7 - 6 = 1 ＞ 0

6STEP 6

넷째 보기 확인

넷째도 양수입니다.

f (7/6) = 7 - (2 + 3) = 2 ＞ 0

7STEP 7

마지막 보기 확인

음수가 되는 것은 11분의 25입니다.

f (25/11) = 10 - 11 = -1 ＜ 0 → (E)

정답

25/11

f 는 "가중 소수 카운터" 처럼 작용하므로 f(N/D) ＜ 0 이려면 D 의 소수 합이 N 의 소수 합보다 커야 합니다. 비교를 뒤집는 것은 (E) 뿐: N = 25 = 5 · 5의 합은 5 + 5 = 10, D = 11의 합은 11, 11 ＞ 10. 다른 네 선택지는 분자에 큰 소수 (17, 11, 7, 7) 한 개, 분모에 작은 소수의 거듭제곱이 있어 분자 쪽이 이깁니다.

💡핵심 정리

f 는 요리법 같은 함수: 수를 소인수로 잘라서 분자 쪽 소수는 더하고 분모 쪽 소수는 뺍니다. 분모의 소수 11이 분자의 소수 합 5+5=10을 이기는 선택지는 25/11 뿐 — f = -1, 답은 (E).