AMC 10 · 2004 · #2

학년 6 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
exponentsorder-of-operations extremal-constructionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: exponents
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
네 수 0, 1, 2, 3을 식 c 곱하기 a 의 b 제곱 빼기 d 의 a, b, c, d 에 하나씩 넣는다. 이 식이 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
5
(B)
6
(C)
8
(D)
9
(E)
10
풀이 과정
전략 극단의 원리

문제가 최댓값을 묻는데, 이는 도구 #14(극단의 원리)의 대표 신호입니다: 식의 각 부분을 전체가 가장 커지는 극단으로 밀어붙입니다 — 뺄 수 있는 가장 작은 수를 빼고, 만들 수 있는 가장 큰 곱을 만듭니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 몇 안 되는 유력 후보를 정리해 빠뜨리지 않게 하고, 도구 #3(가능성 지우기)은 함정들 — 큰 수를 곱셈 자리에 낭비하거나 두 번째로 좋은 거듭제곱에 만족하는 것 — 을 지워 9가 진짜 상한임을 확인합니다.

1STEP 1

가장 작게 빼고, 나머지를 크게

0을 빼는 자리에 쓰면 아무것도 잃지 않는다.

d=0 → c · a^b-d=c · a^b
2STEP 2

거듭제곱이 가장 빨리 커진다

거듭제곱이 가장 빨리 커지고 3의 제곱이 2의 세제곱보다 크다.

3²=9 ＞ 2³=8
3STEP 3

남은 수 배치하기

남은 1이 곱하는 자리에 간다; 0이 오면 전부 사라지기 때문이다.

c · a^b-d=1 · 3²-0=1 · 9-0=9
4STEP 4

다른 후보들 확인하기

다른 배치는 모두 8 이하이므로 최댓값은 9, 보기 (D).

1 · 8-0=8, 3 · 2¹-0=6, 2 · 3¹-0=6 → max=9 (D)
정답
9
결과는 만들 수 있는 가장 큰 곱을 넘을 수 없는데, 그 곱은 1 · 3²=9 에서 최대가 됩니다. 여기서 d ≥ 0을 빼므로 식 전체는 많아야 9입니다. 이는 10 (선택지 E)이 도달 불가능임을 바로 보여 줍니다 — 여기에는 빼서 값을 더 올릴 음수가 없습니다. 함정 답들은 특정 실수와 맞아떨어집니다: 8은 거듭제곱 2³에 만족할 때, 6은 큰 수를 작은 거듭제곱의 곱셈 자리에 낭비할 때 나옵니다. 제시된 선택지 9에 정확히 도달한 것은 배치가 옳다는 좋은 신호입니다.
💡핵심 정리

식을 최대한 크게 만들려면 가장 빨리 커지는 부분인 지수에 큰 수를 주고, 절대 0을 곱하지 말며, 0은 빼는 자리에 아껴 두세요.

  • 가장 작게 빼고, 나머지를 크게
  • 거듭제곱이 가장 빨리 커진다
  • 남은 수 배치하기
  • 다른 후보들 확인하기

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