AMC 10 · 2004 · #8

학년 4 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
sequences-arithmeticperfect-squares pattern-recognitionguess-and-check ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
캔을 여러 줄로 쌓는데, 맨 위 줄에는 1개가 있고 아래 줄마다 바로 위 줄보다 2개씩 많다. 전체 더미에 캔 100개가 쓰였다. 줄이 몇 개인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
5
(B)
8
(C)
9
(D)
10
(E)
11
풀이 과정
전략 패턴 찾기

각 줄이 2 씩 일정하게 늘어나므로 줄의 캔 개수는 홀수 1, 3, 5, 7, … 이고, 그 누적 합에는 깔끔한 패턴이 숨어 있습니다 — 이는 도구 #5(패턴 찾기)의 대표 신호입니다. 줄을 하나씩 더하면 1, 4, 9, 16, … 이 되는데, 이는 완전제곱수이므로 n 줄까지의 합은 n × n 입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 이유를 보여 줍니다: 새 홀수 줄이 정사각형 둘레를 L자로 감싸 다음 크기의 정사각형을 완성합니다. 그러면 도구 #6(추측하고 확인하기)은 어느 제곱수가 100 인지만 물으면 됩니다.

1STEP 1

줄을 홀수로 읽기

줄은 1, 3, 5, 7, … 즉 순서대로 홀수다.

1, 3, 5, 7, 9, …
2STEP 2

줄마다 더하며 누적 합 살피기

누적 합은 1, 4, 9, 16, … 즉 언제나 완전제곱수다.

1, 4, 9, 16, 25=1², 2², 3², 4², 5² → n 줄까지의 합=n × n
3STEP 3

합을 100에 맞추기

합 100은 제곱근이 필요하므로 줄은 10개, 보기 (D).

n × n=100=10 × 10 → n=10 (D)
정답
10
이웃을 확인합니다: 9 줄이면 9 × 9=81 개, 11 줄이면 11 × 11=121 개이므로 오직 10 줄만 정확히 100에 맞습니다. 오답 선택지들은 빗나가는 제곱수와 맞아떨어집니다: 5 줄은 25, 8 줄은 64로 모두 한참 모자랍니다. 제시된 선택지 10에 정확히 도달한 것은 줄 수가 옳다는 강한 신호입니다.
💡핵심 정리

홀수 1+3+5+… 를 더해 나가면 항상 완전제곱수가 되므로, 줄마다 캔이 2 개씩 늘어나는 더미는 정확히 10 줄에서 100=10 × 10에 도달합니다.

  • 줄을 홀수로 읽기
  • 줄마다 더하며 누적 합 살피기
  • 합을 100에 맞추기

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