AMC 10 · 2010 · #19

학년 8 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

sequences-geometricsequences-arithmeticsystems-of-equations guess-and-check ↑ 선수 지식: sequences-geometricsequences-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 팀의 점수는 일정 배로 커지고 다른 팀은 일정 폭으로 늘며, 두 합계가 1 차이다. 전반전 합계를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 문제는 세 개의 미지수를 두 개의 수 패턴 속에 숨겨 두었다. 공통된 1쿼터 점수 a, 등비수열의 공비 r, 등차수열의 간격 d 에 이름을 붙이면 이야기가 비교할 수 있는 식으로 바뀐다. '1점 차 승리'라는 조건이 이들을 하나의 식으로 묶고, 범위가 좁은 확인 과정으로 정수 해 하나를 찾아낸다.

1STEP 1

두 팀을 수열로 나타내기

두 수열이 경기 전체를 설명한다.

레이더스: a, ar, ar², ar³ 와일드캣츠: a, a+d, a+2d, a+3d

2STEP 2

각 팀의 합계 쓰기

각 팀의 합계는 짧은 식 하나다.

레이더스 합계 = a(1+r+r²+r³), 와일드캣츠 합계 = 4a+6d

3STEP 3

공비 확정하기

정수 조건이 배수를 2로 만든다.

r=2: 레이더스 = a, 2a, 4a, 8a, 합계 = 15a ≤ 100 → a ≤ 6

4STEP 4

'1점 차 승리' 활용하기

1점 차는 하나의 방정식이다.

15a = (4a+6d) + 1 ⟹ 11a - 1 = 6d

5STEP 5

정수 해 찾기

정수에 맞는 시작 점수는 하나뿐이다.

a=5: d = (11 · 5 - 1)/6 = 54/6 = 9

6STEP 6

확인하고 전반전 합계 구하기

전반전 합계는 34, 보기 (E).

(5+10) + (5+14) = 15 + 19 = 34

정답

최종 점수 5,10,20,40과 5,14,23,32는 주어진 모든 사실을 만족한다. 1쿼터가 같고(동점), 레이더스는 매 쿼터 두 배로 늘며(증가하는 등비), 와일드캣츠는 매 쿼터 9씩 더하고(증가하는 등차), 합계 75와 74는 레이더스가 앞선 채 정확히 1 차이가 나며, 둘 다 100 미만이다. 전반전 합계 34는 보기 중 하나이므로 일관성이 확인된다.

💡핵심 정리

숨은 수에 글자로 이름을 붙이고, 각 단서를 하나의 식으로 바꾼 뒤, 조건에 맞는 몇 개의 값만 확인하면 된다.

두 팀을 수열로 나타내기
각 팀의 합계 쓰기
공비 확정하기
'1점 차 승리' 활용하기
정수 해 찾기
확인하고 전반전 합계 구하기