AMC 10 · 2005 · #9

학년 8 algebra

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

quadratic-equationsperfect-squares pattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equationsperfect-squarespolynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 이차방정식의 가운데 항에 매개변수가 있다. 정확히 두 개의 매개변수 값에서 이 방정식의 해가 하나뿐이다. 그 두 값의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-16

(B)

-8

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 패턴 찾기

먼저 방정식을 표준형 4x²+(a+8)x+9=0으로 정리합니다. 핵심은 도구 #5(패턴 찾기)입니다: 0과 같게 놓은 이차식은 좌변이 완전제곱일 때에만 해가 하나이고, 양 끝 항 4x²과 9는 이미 2x 와 3의 제곱입니다. 패턴 (2x± 3)²=4x²± 12x+9에 맞추면 가운데 계수가 정해집니다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)로 이 대응을 작은 방정식 a+8=± 12로 바꾸어 a 에 대해 풀고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 합을 선택지와 대조해 확인합니다.

1STEP 1

두 x항 합치기

동류항을 합치면 매개변수가 한 계수에 들어간다.

4x²+ax+8x+9=4x²+(a+8)x+9=0

2STEP 2

해가 하나면 완전제곱

해가 하나라는 것은 좌변이 완전제곱이라는 뜻이다.

4x²+(a+8)x+9=(2x± 3)²

3STEP 3

가운데 항 맞추기

양 끝은 이미 제곱이라 가운데만 맞추면 되고 부호 둘이 가능하다.

(2x± 3)²=4x²± 12x+9 → a+8=± 12

4STEP 4

각 a 값 풀기

각 부호가 값을 하나씩 주어 4와 -20이다.

a+8=12→ a=4; a+8=-12→ a=-20

5STEP 5

두 값 더하기

더하면 -16, 보기 (A).

4+(-20)=-16 → (A)

정답

-16

두 값 a=4와 a=-20은 -8 에서 ± 12 만큼 떨어진 값이므로, 정확한 이동량과 무관하게 합은 2×(-8)=-16 이어야 합니다 — 계산이 일관됨을 보여주는 좋은 신호입니다. a=4 확인: 방정식은 4x²+12x+9=(2x+3)²=0이 되어 해가 x=-3/2 하나뿐입니다. a=-20 확인: 4x²-12x+9=(2x-3)²=0이 되어 해가 x=3/2 하나뿐입니다. 둘 다 실제로 해가 하나이고, 4+(-20)=-16은 선택지 (A)와 일치합니다.

💡핵심 정리

이차식은 좌변이 완전제곱일 때 해가 하나이므로, (2x± 3)²에 맞추어 가운데 항을 읽어내세요.

두 x항 합치기
해가 하나면 완전제곱
가운데 항 맞추기
각 a 값 풀기
두 값 더하기

두 x항 합치기

해가 하나면 완전제곱

가운데 항 맞추기

각 a 값 풀기

두 값 더하기

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