AMC 10 · 2005 · #3
학년 4 rate-ratio fraction-multiplicationratio-proportion ratio-proportioncomplementary-counting ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
가진 돈의 오분의 일을 쓰면 값이 모두 같은 음반의 삼분의 일을 살 수 있다. 음반을 모두 산 뒤 남는 돈이 전체의 얼마인지 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac15$
(B)
$\frac13$
(C)
$\frac25$
(D)
$\frac23$
(E)
$\frac45$
풀이 과정
전략 단위 살펴보기
CD 한 장당 값이 같으므로 쓰는 돈은 산 CD 개수와 일대일로 따라 움직입니다. 이는 비율이므로, 도구 #8(단위 살펴보기)로 실제 금액을 구하지 않고도 '5분의 1로 3분의 1을 산다'는 조건을 전체로 확대할 수 있습니다. 그런데 문제는 쓴 돈이 아니라 남는 돈을 묻습니다. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)으로 마무리합니다. 즉 전체에서 쓴 부분을 뺍니다. 비례 관계와 여집합으로의 전환이 문제의 전부이며, 방정식을 풀 필요가 전혀 없습니다.
1STEP 1
CD 개수에 따라 비용이 늘어난다
값이 같아 비용이 개수에 비례한다.
CD 전체 = 3 × (1/3 묶음)
한 장당 값이 같으면, 쓰는 돈은 산 CD 개수를 그대로 따라간다.
4.OA.A.2Analyze The Units2STEP 2
쓴 돈을 3/5로 확대하기
묶음 셋이 전체이므로 쓰는 돈은 3/5이다.
3 × 1/5 = 3/5 (쓴 돈)
각각 5분의 1인 묶음 3개는 합쳐서 5분의 3이 된다.
각각 5분의 1인 같은 묶음 셋을 합하면 돈의 5분의 3이 된다.
▸ 왜?
5분의 1은 다섯 개의 같은 몫 가운데 하나이므로, 그것이 셋이면 그 몫이 세 개다.
분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
▸ 왜?
한 장당 값이 정해져 있으므로, 쓴 돈은 산 장수에 발맞추어 오른다.
비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
3STEP 3
여집합으로 남는 돈 구하기
여집합을 구하면 2/5이 남는다, 보기 (C).
1 - 3/5 = 5/5 - 3/5 = 2/5 → (C)
남는 돈은 가진 돈 전부에서 쓴 만큼을 뺀 것일 뿐이다.
4.NF.B.3Change Focus Count The Complement정답
2/5
CD의 3분의 1 묶음이 돈의 5분의 1을 쓰므로, 묶음 3개면 절반보다 조금 넘는 5분의 3(0.6)을 씁니다. 이는 '절반 넘게 쓰지만 전부는 아닌' 자연스러운 값입니다. 그러면 5분의 2(0.4)가 남는데, 절반보다 적으니 여유 있게 전체를 살 수 있다는 뜻과 맞습니다. 함정 답 1/5은 묶음 하나의 값이고, 3/5은 쓴 돈이지 남는 돈이 아닙니다. 둘 다 올바른 풀이 과정의 조각일 뿐 최종 답이 아닙니다.
💡핵심 정리
물건 값이 모두 같으면 쓰는 돈은 산 개수를 그대로 따라간다. 그러니 비용을 배로 키운 뒤 전체에서 빼면 남는 양이 보인다.
- CD 개수에 따라 비용이 늘어난다
- 쓴 돈을 3/5로 확대하기
- 여집합으로 남는 돈 구하기