AMC 10 · 2006 · #14
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
비용이 덩이마다 정해져 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이야기를 하나의 식 N(4B+5J)=253으로 바꾼다. 이 식을 깔끔하게 만드는 것이 도구 #8(단위 살펴보기)이다. 달러를 센트로 바꾸면 2.53이 정수 253이 되어 모든 값이 정수가 된다. 핵심은 253이 거의 소인수분해되지 않는다는 점이다. 253=11 × 23이므로 N이 될 수 있는 값은 몇 개뿐이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 약수들을 적고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 B와 J가 정수가 되지 않는 경우를 지워 하나만 남긴다.
이야기를 하나의 식으로 바꾸기
이야기가 좌변이 곱인 방정식 하나가 된다.
센트로 세면 모든 양이 정수여서 총액이 깔끔한 정수의 곱이 된다.
6.EE.B.7Introduce A Variable253을 소인수분해해 N을 좁히기
총액을 인수분해하면 후보 개수가 세 가지뿐이다.
두 정수의 곱은 약수가 허락하는 방식으로만 쪼개지는데, 253은 거의 쪼개지지 않는다.
두 정수의 곱은 그 인수가 허락하는 방식으로만 갈라지며, 이 총합은 갈라질 방법이 거의 없다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 곱으로 가르는 방법은 미리 정해져 있다.
▸ 왜?
약수는 곱해서 그 수가 되는 짝으로 오므로, 한쪽을 정하면 다른 쪽도 정해진다.
각 N을 시험해 안 되는 경우 지우기
둘은 양의 재료 개수가 들어갈 자리가 없어 하나만 남는다.
샌드위치 하나의 최소 비용은 4+5=9센트이므로 그보다 작은 목표값은 바로 제외된다.
6.EE.B.5Eliminate PossibilitiesB와 J를 구하고 잼 값 계산하기
풀어서 그 재료의 값을 구하면 1.65, 보기 (D).
N이 정해지면 남은 식은 정수 해가 하나뿐이고, 잼 값이 곧바로 나온다.
4.OA.A.3Eliminate Possibilities총액이 정수 센트일 때는 소인수분해해 보자. 253=11 × 23은 선택지가 거의 없어서 N은 샌드위치 11개일 수밖에 없고, 잼은 1.65가 된다.
- 이야기를 하나의 식으로 바꾸기
- 253을 소인수분해해 N을 좁히기
- 각 N을 시험해 안 되는 경우 지우기
- B와 J를 구하고 잼 값 계산하기