AMC 10 · 2011 · #7

학년 6 number-theorylogic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

prime-factorizationfactorslinear-diophantine convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

사는 사람 수, 한 사람당 개수, 낱개 가격의 곱이 정해져 있고 각각에 조건이 붙는다. 낱개 가격을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

전체 값은 (산 학생 수) × (학생당 개수) × (한 자루 값)이므로 도구 #4(변수 도입하기)로 시작하는 게 자연스럽습니다. 세 미지수에 이름을 붙이고 곱셈식 s · n · c = 1771 하나를 세우면, 문장제가 수를 인수분해하는 문제로 바뀝니다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 먼저 모든 양을 센트라는 한 단위로 맞춰 전체를 자연수의 곱으로 만듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 핵심 하위 단계인 1771의 소인수분해를 처리해, 어떤 자연수만 등장할 수 있는지 드러냅니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 세 부등식(과반수, 개수 ＞ 1, 값 ＞ 개수)을 써서 각 인수를 제자리에 넣고 함정 보기를 지웁니다.

1STEP 1

모두 센트로 바꾸기

먼저 모두 한 단위로 맞춘다.

17.71 = 17.71 × 100 = 1771 센트

2STEP 2

세 미지수에 이름 붙이기

세 미지수의 곱이 그 총액이다.

s · n · c = 1771, s ＞ 15, n ＞ 1, c ＞ n

3STEP 3

전체 값을 인수분해하기

총액은 세 소수의 곱이다.

1771 = 7 × 11 × 23 (7, 11, 23 모두 소수)

4STEP 4

단서로 각 인수 배정하기

부등식이 그것을 배정해 11이 나온다, 보기 (B).

s = 23 ( ＞ 15); n · c = 77 = 7 × 11, c ＞ n → n = 7, c = 11 → (B) 11

정답

s = 23, n = 7, c = 11로 전체를 확인하면 23 × 7 × 11 = 1771 센트 = 17.71로 전체 값과 일치합니다. 모든 조건도 맞습니다 — 23은 30의 과반수, 각 학생은 7 ＞ 1 자루를 샀고, 한 자루는 11 ＞ 7 센트입니다. 값 11 센트는 보기 (B)입니다. 보기 (C) 17은 17이 1771을 나누지 못해 처음부터 불가능했고, (A) 7은 값이 아니라 학생당 개수, (D) 23은 산 학생 수, (E) 77은 7 × 11로 한 자루 값이 아닙니다.

💡핵심 정리

자연수들을 곱해 정해진 값이 나올 때는 먼저 그 값을 소인수로 쪼개세요 — 그러면 남은 단서가 어느 인수가 어떤 역할인지 알려 줍니다.

모두 센트로 바꾸기
세 미지수에 이름 붙이기
전체 값을 인수분해하기
단서로 각 인수 배정하기

모두 센트로 바꾸기

세 미지수에 이름 붙이기

전체 값을 인수분해하기

단서로 각 인수 배정하기

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