AMC 10 · 2007 · #22
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
양의 정수는 무한히 많으므로, 먼저 Tool #14(극단의 원리)로 n을 아주 좁은 구간에 가둔다. 두 추가 항 S(n)+S(S(n))은 결코 커질 수 없어서 n은 2007 바로 아래에 있어야 한다. 그러면 후보는 수십 개뿐이다. 다음으로 Tool #16(관점 바꾸기)으로 문제를 9로 나눈 나머지의 관점에서 본다. 자리 숫자 합 규칙에 의해 n은 3의 배수가 될 수밖에 없어 후보가 3분의 2로 줄어든다. 마지막으로 Tool #2(빠짐없이 나열하기)로 남은 3의 배수들을 순서대로 지나가며 각각 n + S(n) + S(S(n))을 계산하고 맞는 것을 센다.
n을 좁은 구간에 가두기
덧붙는 항을 제한하면 수가 짧은 구간에 갇힌다.
자리 숫자 합은 아주 작아서 n은 2007 바로 아래로만 내려갈 수 있다.
4.NBT.B.4Extreme Principle3의 배수만 남기기
나머지 규칙이 3의 배수만 남긴다.
각 항이 9에 대해 같은 나머지를 지녀서, 세 항의 합이 9의 배수가 되려면 n이 3의 배수여야 한다.
각 항은 그 수 자체와 같은 나머지를 남기므로, 세 항의 합이 9의 배수가 되는 것은 그 수가 3의 배수일 때뿐이다.
▸ 왜?
어떤 수와 그 자릿수의 합은 9의 배수만큼 차이 나는데, 모든 자리의 값이 그런 배수보다 하나 크기 때문이다.
▸ 왜?
같은 나머지 셋을 더해 9의 배수가 되는 것은 그 나머지가 3의 배수일 때뿐이다.
남은 후보를 하나씩 확인하기
남은 후보를 확인하면 목표에 맞는 것들이 나온다.
구간이 이렇게 좁으니 각 3의 배수를 자리별로 직접 확인하면 개수가 확실히 정해진다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List맞은 것의 개수 세기
세면 4개다, 보기 (D).
모든 거름망과 확인을 통과한 수가 넷이므로 개수는 넷이다.
4.OA.B.4Make A Systematic List자리 숫자 합은 아주 작아서 n은 2007 바로 아래에 있어야 하고, 그 짧은 3의 배수 목록을 확인하면 정확히 네 개가 남는다.
- n을 좁은 구간에 가두기
- 3의 배수만 남기기
- 남은 후보를 하나씩 확인하기
- 맞은 것의 개수 세기