AMC 10 · 2007 · #1
학년 4 geometry-2d area-rectanglessurface-areamulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
똑같은 침실 셋에서 네 벽만 칠한다. 각 방마다 문과 창문의 정해진 넓이는 칠하지 않는다. 칠한 벽의 전체 넓이를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
678
(B)
768
(C)
786
(D)
867
(E)
876
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
총 넓이는 여러 작은 조각으로 이루어진다 — 한 침실의 네 벽 넓이, 칠하지 않는 문과 창문, 그리고 침실이 세 개라는 사실이다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 한 겹씩 푼다: 벽 하나, 침실 하나, 그다음 세 침실 전체. 도구 #1(그림 그리기)은 직육면체를 정확히 떠올려서 세로 벽 네 개(즉 12×8 두 개와 10×8 두 개)만 세고 바닥과 천장은 올바르게 빼도록 도와준다.
1STEP 1
네 벽의 넓이 구하기
네 벽은 같은 두 쌍으로 이루어진다.
12×8=96, 10×8=80
벽은 결국 직사각형이고, 그 넓이는 너비 곱하기 높이이다.
4.MD.A.3Draw A Diagram2STEP 2
한 침실의 벽 더하기
한 방의 벽은 합쳐서 352다.
2×96+2×80=192+160=352
마주 보는 벽은 짝을 이루므로, 각 크기를 두 배 한 뒤 두 짝을 더한다.
마주 보는 벽은 짝을 이루므로, 각 크기를 두 배로 하고 두 짝을 더한다.
▸ 왜?
같은 벽 넓이가 두 번 되풀이되는 것은 같은 묶음을 센 것이며, 곱셈이 그것을 기록한다.
곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
▸ 왜?
방의 벽면은 정확히 네 벽을 모은 것이므로, 그 넓이를 더하면 전체가 된다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
문과 창문 빼기
방마다 뚫린 부분을 빼면 292가 남는다.
352-60=292
문과 창문은 벽에 뚫린 구멍이므로, 그 넓이는 칠하는 넓이에서 빼준다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems4STEP 4
침실 세 개만큼 곱하기
세 방을 곱하면 876, 보기 (E).
292×3=876 → (E)
똑같은 방이 세 개이면 같은 양이 세 개이므로, 한 방의 넓이에 3을 곱한다.
4.NBT.B.5Identify Subproblems정답
876
간단히 점검해 보자: 한 침실의 벽은 총 352제곱피트이고 그중 60제곱피트는 칠하지 않으므로 방마다 약 290제곱피트가 남는다. 세 방이면 대략 3×290≈870제곱피트로 876에 아주 가깝다. 답은 또한 3의 배수여야 하는데(똑같은 방 세 개), 876=3×292는 이를 만족하지만 함정 선택지들은 이만큼 깔끔하지 않다. 높이 8이 모든 벽에 들어가므로 876이 900보다 조금 작은 것은 중간 크기 방 세 개에 잘 맞는다.
💡핵심 정리
방을 네 개의 직사각형 벽으로 쪼개어 더하고, 뚫린 곳을 빼낸 다음, 똑같은 방의 개수만큼 곱한다.
- 네 벽의 넓이 구하기
- 한 침실의 벽 더하기
- 문과 창문 빼기
- 침실 세 개만큼 곱하기