AMC 10 · 2008 · #20

학년 7 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Staggered Start or Schedule Table

ratecoordinate-geometrypattern-recognition physical-representationcasework ↑ 선수 지식: rate

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

걷는 사람이 일정하게 나아가고, 트럭은 더 빠르지만 일정 간격마다 멈춘다. 트럭이 한 간격 앞에서 출발한다. 둘이 같은 자리에 있는 횟수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)로 위치-시간 그래프를 그린다. 마이클은 직선, 청소차는 계단(달릴 때는 비스듬, 멈출 때는 평평)이고, 만남은 두 그래프가 만나는 점이다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 숫자를 청소차의 리듬으로 바꾼다. 200피트를 초속 10피트로 가면 20초 주행, 그 뒤 30초 정지, 즉 50초 주기다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 물체를 하나의 수, 간격 D = (청소차) - (마이클)로 바꾼다. 만남은 곧 D = 0이며, D는 청소차가 달릴 때 초속 5피트로 오르고 멈출 때 초속 5피트로 내린다. 도구 #5(패턴 찾기)로 매 주기마다 D가 +100 뒤 -150으로 흔들리는 규칙을 이용해 첫 만남까지 빠르게 나아간다. 도구 #3(가능성 지우기)로 마무리한다. D가 더는 0에 닿을 수 없게 되면 남은 만남이 없으므로 개수가 확정된다.

1STEP 1

시계와 원점 정하기

시계와 원점이 두 움직임을 쓸 수 있게 한다.

M(t) = 5t, 청소차는 위치 200 에서 출발

2STEP 2

청소차의 50초 주기 찾기

트럭이 정해진 주기로 반복한다.

(200 ft)/(10 ft/s) = 20 s 주행, + 30 s 정지 = 50 s 주기

3STEP 3

수 하나로 좁히기: 간격

간격을 좇으면 둘 다 좇을 필요가 없다.

D(0) = 200; D 는 +5 ft/s (청소차 주행), D 는 -5 ft/s (청소차 정지)

4STEP 4

주기마다의 흔들림으로 첫 만남까지

주기마다의 흔들림이 간격을 첫 만남까지 내린다.

200 → 150 → 100 → 50 → 0 ( t = 200 s)

5STEP 5

다섯째 주기: 한 번 만남

다음 주기가 만남을 하나 더 준다.

100 - 5(t - 220) = 0 → t = 240 s (만남 #2)

6STEP 6

여섯째 주기: 두 번 만남

그다음 주기는 둘을 준다.

-50 + 5(t-250)=0 → t = 260; 50 - 5(t-270)=0 → t = 280

7STEP 7

일곱째 주기: 마지막 스침, 그 뒤 끝

마지막으로 한 번 스친 뒤 간격이 영원히 음수로 남는다.

-100 + 5(t-300)=0 → t = 320 (#5); 이후: D ≤ -50 ＜ 0 항상

8STEP 8

만남 세기

만남을 세면 5, 보기 (B).

{200, 240, 260, 280, 320} → 5 번 만남 → (B)

정답

간격만이 아니라 위치로도 확인한다. 만남 #1, t=200: 마이클은 5 · 200 = 1000피트에 있고, 청소차는 t=170에 쓰레기통 1000에 도착해 t=200까지 멈춰 있으므로 겹친다. 만남 #5, t=320: 마이클은 5 · 320 = 1600피트에 있고, 청소차가 쓰레기통 400,600,…에 도착하는 시각은 20,70,120,170,220,270,320이므로 정확히 t=320에 쓰레기통 1600에 들어선다. 다섯 시각 200,240,260,280,320은 늦은 따라잡기 하나, 홀로 지나침 하나, 이중 지나침 하나, 마지막 동시 도착 하나로 자연스럽게 나뉘며, 이는 오르내리는 간격이 예측하는 그대로다. 개수 5는 선택지 (B)이고, 4는 이중 지나침 주기를 놓친 것, 6은 t=320의 경계 스침을 두 번 센 것이다.

💡핵심 정리

추격 문제는 둘 사이의 간격 하나만 따라가면 쉬워진다. 청소차가 달리면 간격이 커지고 멈추면 줄어드는데, 간격이 0이 될 때마다 만난다. 여기서는 그런 일이 다섯 번 일어난다.

시계와 원점 정하기
청소차의 50초 주기 찾기
수 하나로 좁히기: 간격
주기마다의 흔들림으로 첫 만남까지
다섯째 주기: 한 번 만남
여섯째 주기: 두 번 만남
일곱째 주기: 마지막 스침, 그 뒤 끝
만남 세기