AMC 10 · 2010 · #1

학년 7 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
order-of-operationsmulti-digit-arithmeticmental-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: order-of-operations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
같은 세 수가 식의 양쪽에 서로 다르게 중첩되어 나온다. 그 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-4020
(B)
0
(C)
40
(D)
401
(E)
4020
풀이 과정
전략 변수 도입하기

2010-201과 201-20을 그냥 계산해도 답은 나오지만, 왜 답이 이렇게 작은 수인지는 가려진다. 세 수가 반복되므로 그것들을 a, b, c로 이름 붙이고 괄호가 하나도 없는 형태로 다시 쓴다. 그러면 각 수가 어떤 부호를 달고 있는지 보인다. 반드시 정확해야 하는 지점은 마이너스 뒤에 놓인 괄호를 어떻게 푸느냐이므로, 그것부터 따로 떼어 해결한다.

1STEP 1

반복되는 수에 이름 붙이기

반복되는 수에 이름을 붙이면 모양이 드러난다.

a=20, b=2010, c=201 ⟹ (a-(b-c))+(b-(c-a))
2STEP 2

마이너스 괄호 규칙 확정하기

마이너스가 괄호 안의 모든 부호를 뒤집는다.

(x-y+z)+(y-z)=x+(y-y)+(z-z)=x ⟹ x-(y-z)=x-y+z
3STEP 3

양쪽 괄호 벗기기

양쪽 괄호를 벗기면 항이 맞춰진다.

(a-(b-c))+(b-(c-a))=(a-b+c)+(b-c+a)
4STEP 4

b와 c가 지워지는 것 확인하기

세 문자 중 둘이 완전히 상쇄된다.

(a-b+c)+(b-c+a)=(a+a)+(-b+b)+(c-c)=2a
5STEP 5

수를 다시 넣기

수를 다시 넣으면 40, 보기 (A).

2a=2 × 20=40
정답
40
b와 c가 값에 관여하지 않는다는 주장을 작은 수로 바꿔 확인해 보자. b=7, c=3으로 두면 식은 (20-(7-3))+(7-(3-20))=(20-4)+(7+17)=16+24=40으로, 여전히 2 × 20이다. 이제 두 개의 함정 보기도 이해된다. 보기 (B) 0은 좌우가 대칭처럼 생겼으니 전부 지워질 것이라고 넘겨짚었을 때 나오는 값이지만, 20은 첫 괄호 바깥에 있고 둘째 괄호 안쪽에 있어서 두 번 모두 양의 부호가 된다. 보기 ± 4020은 20 대신 2010이 살아남게 두었을 때, 즉 (2010-201) 앞의 마이너스를 분배하지 않았을 때 생긴다.
💡핵심 정리

괄호 앞의 마이너스는 괄호 안 모든 것의 부호를 뒤집는다. 부호를 제대로 맞추고 나면 2010과 201은 지워지고 두 개의 20만 남는다.

  • 반복되는 수에 이름 붙이기
  • 마이너스 괄호 규칙 확정하기
  • 양쪽 괄호 벗기기
  • b와 c가 지워지는 것 확인하기
  • 수를 다시 넣기

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