AMC 10 · 2011 · #2

학년 4 geometry-2dlogic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
spatial-visualizationlogical-deductionif-then-reasoning physical-representationsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: spatial-visualization
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
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문제
겹친 원판들이 다른 원판에 가려지지 않은 테두리만 그려져 있다. 쌓인 순서를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
(C, A, E, D, B)
(B)
(C, A, D, E, B)
(C)
(C, D, E, A, B)
(D)
(C, E, A, D, B)
(E)
(C, E, D, A, B)
풀이 과정
전략 공간 상상하기

도구 #17 (공간 상상하기): 그림은 평면이지만 묻는 것은 위아래이고, 그림 속 유일한 깊이 정보는 겹치는 자리에서 어느 테두리가 살아남았는가이다. 그래서 겹침 하나하나를 두 동전 중 어느 쪽이 위인지에 대한 진술로 읽는다. 도구 #15 (다르게 정리하기): 그림 자체로는 따지기 어려우니 "X가 Y 위에 있다"는 사실들의 목록으로 바꾼 뒤 그 목록을 하나의 순서로 합친다. 도구 #3 (가능성 지우기): 맞닿은 이웃끼리의 쉬운 겹침만으로는 선택지 3개가 동시에 살아남으므로, 그중 둘을 죽이는 겹침 하나를 더 찾아야 한다.

1STEP 1

모든 동전 쌍이 서로 겹친다

모든 원판 쌍이 실제로 겹친다.

두 동전(반지름 r )이 겹친다 ⇔ 중심 사이 거리 ＜ 2r
2STEP 2

동전 C는 통째로 그려졌으므로 맨 위

온전한 테두리 하나가 맨 위 원판을 알려 준다.

arc(C) = 360° → C 를 덮는 동전은 없다
3STEP 3

겹치는 자리마다 누가 누구를 덮는지 읽기

끊긴 테두리마다 하나의 비교를 준다.

C ＞ A, C ＞ E, E ＞ D, D ＞ B, A ＞ B
4STEP 4

다섯 사실만으로는 부족하다

그 비교들로 가능한 순서가 셋 남는다.

C ＞ E ＞ D ＞ B 그리고 C ＞ A ＞ B → 세 순서 (A), (D), (E)가 살아남음
5STEP 5

A와 D의 겹침이 결정한다

겹침 하나가 더 그것을 가른다.

A 의 호는 214° = A ∩ D 에서 멈춘다; A ∩ B = {155°, 277°}, A ∩ C = {25°, 263°}, A ∩ E = {250°, 326°}
6STEP 6

하나의 순서로 조립하기

조립하면 순서가 하나로 나온다, 보기 (E).

C ＞ E ＞ D ＞ A ＞ B → (E) (C, E, D, A, B)
정답
(C, E, D, A, B)
논리를 거꾸로 돌려 본다. 순서가 C, E, D, A, B라고 가정하고 그림을 다시 그린 뒤 호 하나하나를 원래 그림과 비교한다. 이 원들은 고리에서 이웃일 때 두 중심을 잇는 선의 양옆 61°씩에서, 이웃이 아닐 때 양옆 38°씩에서 서로를 자른다. 그러면 C는 아무것에도 덮이지 않아 360° 온전한 원으로 남는다. E는 C에만 덮여 11°부터 133°까지 가려지고 133°부터 그려지는데, 그림은 E를 132°부터 그린다. D는 C와 E에 덮여 299°부터 74°까지 가려지고 74°에서 299°까지 그려지는데, 그림은 75°에서 300°다. A는 C, E, D에 덮여 25°에서 214°까지 그려지는데, 그림과 정확히 일치한다. B는 넷 모두에 덮여 97°에서 227°까지 그려지는데, 그림은 96°에서 228°다. 다섯 호 모두 그림이 도 단위로 반올림된 오차 안에서 일치하고, 다섯 동전의 다른 어떤 순서도 다섯 호를 전부 재현하지 못한다. 좀 더 거친 두 번째 확인도 있다. 열 쌍이 모두 겹치므로 위에서 k번째 동전은 위에 있는 k-1개에 정확히 그만큼 잘려야 하고, 실제로 그려진 호의 길이는 목록을 따라 꾸준히 줄어든다 — 360°, 238°, 225°, 189°, 132°. 마지막으로, 열 개의 판독 어디에도 "X가 Y 위, Y가 Z 위, Z가 다시 X 위" 같은 고리가 없다. 그림은 그런 것을 그릴 수도 있지만 실제 동전 더미는 결코 그럴 수 없으니, 이 그림은 정직하다.
💡핵심 정리

동전 테두리가 끊긴 자리는 그 위에 놓인 동전의 이름을 알려 준다. 그리고 나란히 붙은 쌍만이 아니라 멀리 떨어진 쌍까지 확인해야 한다.

  • 모든 동전 쌍이 서로 겹친다
  • 동전 C는 통째로 그려졌으므로 맨 위
  • 겹치는 자리마다 누가 누구를 덮는지 읽기
  • 다섯 사실만으로는 부족하다
  • A와 D의 겹침이 결정한다
  • 하나의 순서로 조립하기

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