AMC 10 · 2011 · #3
학년 7 arithmetic linear-equations-one-varfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
함께한 여행에서 두 사람이 서로 다른 금액을 냈고 결국 같아져야 한다. 건네야 할 금액을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{A+B}{2}$
(B)
$\frac{A-B}{2}$
(C)
$\frac{B-A}{2}$
(D)
B-A
(E)
A+B
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기
선택지가 모두 A 와 B 에 대한 식이므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 말을 식으로 옮깁니다. 공평한 몫은 전체의 절반인 (A+B)/2입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 건네는 금액을 x 라 두고 A+x=(A+B)/2를 세우며, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 A=30, B=60 같은 실제 수를 넣어 정리한 답을 확인합니다.
1STEP 1
공평한 몫 쓰기
공평한 몫은 전체의 절반이다.
전체=A+B → 공평한 몫=(A+B)/2
함께 쓴 비용 하나를 똑같이 나누면 각자는 전체의 정확히 절반만큼 부담합니다.
6.EE.A.2Convert To Algebra2STEP 2
건네는 금액 세우기
건네는 금액이 적게 낸 쪽을 거기까지 올린다.
A + x = (A+B)/2
적게 낸 사람은 절반 금액까지 부족한 만큼만 더 보태면 됩니다.
7.EE.B.4Introduce A Variable3STEP 3
건네는 금액 풀기
풀면 차이의 절반이다, 보기 (C).
x=(A+B)/2-A=(A+B-2A)/2=(B-A)/2 → (C)
르로이가 더 내야 하는 금액은 두 사람이 낸 금액 차이의 정확히 절반입니다.
한 사람이 더 내야 할 돈은 두 사람이 낸 금액 차의 정확히 절반이다.
▸ 왜?
공정한 몫은 전체 비용을 둘로 똑같이 나눈 것 가운데 하나이므로, 각자 정확히 절반을 진다.
분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
▸ 왜?
한쪽에서 다른 쪽으로 돈을 옮기면 차이가 양쪽에서 동시에 좁혀지므로, 차의 절반이면 충분하다.
둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
정답
(B-A)/2
건네는 금액은 양수여야 하고(르로이가 적게 냈으므로) 전체 차이 B-A 보다 작아야 합니다. 차이 전부를 넘겨주면 지나쳐서 누가 더 냈는지가 뒤바뀌기 때문입니다. 답 (B-A)/2은 차이의 절반이라 정확히 가운데에 놓이며 양수이고 B-A 보다 작습니다. 수로 확인해 봅니다: A=30, B=60이면 전체는 90, 각자 몫은 45입니다. 르로이가 (60-30)/2=15를 주면 그의 부담은 45, 베르나르도는 60-15=45로 같아집니다.
💡핵심 정리
누가 얼마를 냈는지 맞추려면, 적게 낸 사람이 두 사람이 낸 금액 차이의 절반을 건네면 됩니다.
- 공평한 몫 쓰기
- 건네는 금액 세우기
- 건네는 금액 풀기