AMC 10 · 2011 · #8

학년 7 rate-ratiogeometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

path-length-comparisonratelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

폭을 아는 트랙의 바깥쪽을 걸으면 정해진 만큼 시간이 더 걸린다. 걷는 속력을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\pi}{3}$

(B)

$\frac{2\pi}{3}$

(C)

$\pi$

(D)

$\frac{4\pi}{3}$

(E)

$\frac{5\pi}{3}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

트랙 길이가 모르는 직선 길이와 모르는 안쪽 반지름에 달린 것처럼 보이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이들을 L과 r로 이름 붙이고 각 가장자리를 식으로 적는다. 도구 #1(그림 그리기)은 바깥쪽 반원의 반지름이 r+6이지만 직선은 그대로 남는 이유를 보여 준다. 핵심은 두 식을 빼면 L과 r이 모두 사라지고 순수한 수만 남는다는 점이다. 그런 다음 도구 #8(단위 살펴보기)로 '남는 거리 ÷ 속력 = 남는 시간'을 v에 대한 깔끔한 방정식으로 바꾼다.

1STEP 1

부분에 이름 붙이고 안쪽 가장자리 적기

두 가장자리가 같은 직선 부분을 공유한다.

P_inner = 2L + 2π r

2STEP 2

바깥쪽 가장자리 적기

바깥 가장자리는 곡선에서만 다르다.

P_outer = 2L + 2π (r + 6)

3STEP 3

빼서 늘어난 거리 구하기

빼면 반지름이 없는 거리가 남는다.

P_outer - P_inner = 2π(r+6) - 2π r = 12π

4STEP 4

늘어난 시간을 방정식으로

늘어난 시간이 하나의 방정식이 된다.

12π/v = 36

5STEP 5

속력 구하기

풀면 π/3, 보기 (A).

v = 12π/36 = π/3 → (A)

정답

π/3

단위와 크기를 확인하자. π/3 ≈ 1.05 초당 미터는 평범한 걷기 속도이다. 거꾸로 곱하면 늘어난 거리는 v × 36 = π/3 × 36 = 12π미터로, 도형에서 구한 12π와 일치한다. 직선 구간은 전혀 영향을 주지 않았는데, 이는 보기에 L이 하나도 없다는 사실과 맞아떨어진다.

💡핵심 정리

경기장 트랙에서는 바깥으로 나가면 곡선 끝만 길어지므로, 바깥 바퀴는 항상 2π × 폭만큼 더 길다 — 직선 구간은 상관없다.

부분에 이름 붙이고 안쪽 가장자리 적기
바깥쪽 가장자리 적기
빼서 늘어난 거리 구하기
늘어난 시간을 방정식으로
속력 구하기

부분에 이름 붙이고 안쪽 가장자리 적기

바깥쪽 가장자리 적기

빼서 늘어난 거리 구하기

늘어난 시간을 방정식으로

속력 구하기

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