AMC 10 · 2011 · #9
학년 7 probability geometric-probabilityprobability-basicsign-analysis casework ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
0을 걸치는 구간에서 서로 무관하게 두 수를 고른다. 곱이 양수일 확률을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{1}{9}$
(B)
$\frac{1}{3}$
(C)
$\frac{4}{9}$
(D)
$\frac{5}{9}$
(E)
$\frac{2}{3}$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
핵심 전환(도구 #16)은 “곱이 0보다 크다”가 곧 “두 수의 부호가 같다”라는 점이다. 그러면 문제가 두 갈래로 깔끔하게 나뉜다(도구 #7): 둘 다 음수이거나, 둘 다 양수. 각 갈래는 작은 독립 확률 계산이고, 두 갈래는 절대 겹치지 않으므로 확률을 더하면 된다. 도구 #1(그림 그리기)이 이를 뒷받침한다. 구간을 수직선으로 그리면 음수 부분(길이 20)과 양수 부분(길이 10)을 전체 길이 30과 비교하기 쉽다.
1STEP 1
음수 부분과 양수 부분 재기
구간이 부호로 두 비율로 나뉜다.
P(음) = 20/30 = 2/3, P(양) = 10/30 = 1/3
균등한 구간에서는 어떤 영역의 확률이 그 길이를 전체 길이로 나눈 값이다.
7.SP.C.7Draw A Diagram2STEP 2
두 번 다 음수일 확률
둘 다 음수일 확률은 4/9다.
P(둘 다 음) = 2/3×2/3 = 4/9
독립인 사건은 둘 다 일어날 확률이 각 확률의 곱이다.
서로 상관없이 이루어진 두 번의 뽑기에서, 둘 다 일어날 확률은 두 확률을 곱한 것이다.
▸ 왜?
한 번의 뽑기가 다른 뽑기에 대해 아무것도 말해 주지 않으면, 확률은 곱으로 합쳐진다.
서로 무관한 확률은 곱해진다한 결과가 다른 결과에 대해 아무것도 알려 주지 않으면, 둘 다 일어날 확률은 두 확률을 곱한 것이다.
▸ 왜?
고르게 퍼진 구간에서 각 확률은 길이를 전체 길이로 나눈 것이다.
동등한 확률모든 결과가 동등하게 일어난다면, 사건의 확률은 유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것이다.
3STEP 3
두 번 다 양수일 확률
둘 다 양수일 확률은 1/9다.
P(둘 다 양) = 1/3×1/3 = 1/9
부호가 같은 두 수를 곱하면 양수가 되므로 둘 다 양수인 경우도 포함된다.
7.SP.C.8Identify Subproblems4STEP 4
두 경우 더하기
더하면 5/9, 보기 (D).
P(곱 ＞ 0) = 4/9 + 1/9 = 5/9 → (D)
겹치지 않는 별개 경우들의 확률은 서로 더한다.
4.NF.B.3Identify Subproblems정답
5/9
여집합으로 확인하자. 곱이 음수인 경우는 두 수의 부호가 반대일 때이고, 이는 음-그다음-양, 양-그다음-음의 두 방식으로 일어나 2×2/3×1/3=4/9이다. 정확히 0에 걸릴 확률은 0이므로 양수 곱과 음수 곱이 전체를 채워야 한다: 5/9+4/9=1. 딱 맞는다. 또한 5/9는 절반보다 크며, 이는 더 넓은 음수 쪽이 부호가 같아질 가능성을 높이기 때문에 자연스럽다.
💡핵심 정리
곱은 두 수의 부호가 같을 때만 양수이므로, 부호가 같아지는 각 확률을 구해서 더하면 된다.
- 음수 부분과 양수 부분 재기
- 두 번 다 음수일 확률
- 두 번 다 양수일 확률
- 두 경우 더하기
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