AMC 10 · 2012 · #3

학년 5 geometry-3drate-ratio
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up
volume-rectangular-prismratio-proportiondimensional-analysis identify-subproblemsspatial-visualizationdimensional-analysis ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
두 번째 상자는 두 변이 정수 배로 커진 것이다. 얼마나 담는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
120
(B)
160
(C)
200
(D)
240
(E)
280
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

두 번째 상자는 그냥 "더 큰" 상자가 아닙니다. 각 모서리가 첫 번째 상자의 자연수 배이고, 이 사실은 단순한 크기 비교보다 훨씬 값집니다. 도구 #17이 그 이득을 눈에 보이게 해 줍니다. 높이가 두 배, 너비가 세 배이므로 두 번째 상자는 첫 번째 상자와 똑같은 블록들로 깔끔하게 잘립니다. 이어서 도구 #7이 큰 상자를 이미 풀린 문제로 바꿔 줍니다. 각 블록에 들어가는 무게가 바로 문제에서 준 40 그램이니까요. 도구 #1은 자르는 동안 두 상자와 모서리 표시를 헷갈리지 않게 잡아 주고, 도구 #8은 가장 먼저 할 일을 맡습니다. 문제는 그램으로 묻는데 설명은 센티미터로 되어 있다는 점을 알아채고, 무엇이 둘을 이어 주는지 못 박는 일이에요.

1STEP 1

그램은 공간이 정한다

담는 양은 안쪽 공간을 따른다.

(들어가는 그램) = (cm³ 하나의 무게) × (안쪽 공간, cm³)
2STEP 2

두 번째 상자의 크기

두 변이 커지고 나머지 하나는 그대로다.

2 × 3 × 5 cm ⟶ (2 · 2) × (3 · 3) × (1 · 5) = 4 × 9 × 5 cm
3STEP 3

똑같은 상자로 자르기

큰 상자는 작은 상자 6개로 잘린다.

4 × 9 × 5 = (2 · 2)×(3 · 3)×(1 · 5) → 2 × 3 × 1 = 6 개 블록, 각각 2 × 3 × 5
4STEP 4

블록이 여섯 개, 점토도 여섯 배

여섯 개는 240을 담는다, 보기 (D).

n = 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40₆ 개 블록 = 6 × 40 = 240 → (D)
정답
240
답은 3단계의 자르는 그림이 맞는 만큼만 믿을 수 있으므로, 그 그림을 부피 값으로 확인해 봅니다. 첫 번째 상자의 공간은 2 × 3 × 5 = 30 세제곱센티미터, 두 번째 상자는 4 × 9 × 5 = 180이고 180 = 6 × 30이 정확히 맞아떨어집니다. 자른 그림이 말한 대로 여섯 개, 나머지 없이요. 무게도 맞습니다. 240/180 = 40/30 = 4/3 이니 두 상자 모두 세제곱센티미터당 4/3 그램이고, 이것이 문제가 점토에 대해 약속한 단 하나입니다. 오답 중 둘은 읽어낼 수 있어요. 120 = 3 × 40은 세 배가 된 너비만 세었을 때 나오고, 280 = 7 × 40은 "여섯 배 커졌다" 를 원래 것에 여섯 개를 더 얹은 것으로 읽었을 때 나옵니다. 여기에는 믿지 말아야 할 우연도 하나 있습니다. 배율 2, 3, 1은 곱해도 6 이지만 더해도 6입니다. 그래서 더해 버린 학생도 240에 도착하고 자기 규칙이 틀렸다는 걸 영영 모르게 되죠. 높이가 두 배, 너비가 네 배라면 더하기는 7을 주지만 정답은 8입니다. 배율은 곱해야 합니다. 세 모서리의 곱에 각 모서리가 자기 배율을 하나씩 실어 보내기 때문이에요.
💡핵심 정리

한 모서리를 두 배, 다른 모서리를 세 배 하면 상자는 원래 상자 여섯 개가 되므로, 점토도 여섯 배가 들어갑니다: 6 × 40 = 240 그램.

  • 그램은 공간이 정한다
  • 두 번째 상자의 크기
  • 똑같은 상자로 자르기
  • 블록이 여섯 개, 점토도 여섯 배

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