AMC 10 · 2013 · #1
학년 7 algebra mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
최고와 최저의 차를 알고, 둘의 평균도 안다. 최저를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
-13
(B)
-8
(C)
-5
(D)
-3
(E)
11
풀이 과정
전략 변수 도입하기
미지수는 최저 기온 하나뿐이고 다른 모든 값이 그것으로 표현되므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 최저 기온을 L 로 놓으면 최고 기온을 L+16으로 쓸 수 있습니다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 “평균이 3” 이라는 문장을 하나의 방정식으로 바꿔 풉니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 확인 수단입니다: 나열된 최저 기온 중 최고 기온이 16 더 크고 평균이 3이 되는 것은 오직 하나뿐입니다.
1STEP 1
최저 기온을 변수로 놓고 최고 기온 쓰기
문자 하나가 두 기온을 모두 이름 짓는다.
최저=L, 최고=L+16
최저 기온에 이름을 붙이면 최고 기온은 그 이름에 16을 더한 것일 뿐입니다.
7.EE.B.4Introduce A Variable2STEP 2
평균을 방정식으로 바꾸기
평균이 하나의 방정식이 된다.
(L+(L+16))/2=3
두 수의 평균은 그 합을 둘이 똑같이 나눠 가진 값일 뿐입니다.
두 수의 평균은 그 합을 둘에 고르게 나눈 것이다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이므로, 두 수라면 합의 절반이다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
▸ 왜?
두 값은 평균을 중심으로 대칭으로 놓이므로, 평균은 낮은 값에 차의 절반을 더한 것이다.
양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
3STEP 3
방정식 정리하기
정리하면 최저에 8을 더한 꼴이다.
(2L+16)/2=L+8=3
차이 16을 반으로 나누면 평균이 최저보다 정확히 8도 따뜻함을 알 수 있습니다.
7.EE.B.4Introduce A Variable4STEP 4
최저 기온 구하기
풀면 -5, 보기 (C).
L=3-8=-5 → (C)
가진 것보다 더 많이 빼면 수는 0 아래로 내려갑니다.
7.NS.A.1Eliminate Possibilities정답
-5
최저 -5를 확인합니다: 최고는 -5+16=11이고 평균은 (-5+11)/2=6/2=3으로 일치합니다. 최고와 최저의 차이도 11-(-5)=16으로 조건과 맞습니다. 두 조건이 모두 성립하므로 (C)가 정답입니다. 답은 3 보다 낮아야 하므로(최저는 평균보다 춥습니다) (E) 11은 바로 지워집니다.
💡핵심 정리
두 수의 평균은 그 둘의 정확히 한가운데에 있으므로, 최저는 평균에서 차이의 절반을 뺀 값입니다.
- 최저 기온을 변수로 놓고 최고 기온 쓰기
- 평균을 방정식으로 바꾸기
- 방정식 정리하기
- 최저 기온 구하기