AMC 10 · 2013 · #6
학년 8 algebra completing-the-squareperfect-squares completing-the-square ↑ 선수 지식: perfect-squares
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
한 방정식이 두 실수를 묶고 한쪽에 제곱이 있다. 둘의 합을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
6
(E)
8
풀이 과정
전략 다르게 정리하기
미지수가 둘인데 식이 하나뿐이면 보통 각 값을 확정할 수 없어 그냥 풀 수는 없다. 대신 식을 옮겨 완전제곱식으로 만들어 제곱의 합 형태로 다시 쓴다. 이 새 형태가 더 쓸모 있는데, 제곱의 합은 각 제곱이 모두 0일 때만 0이 되어 x와 y의 값이 정확히 정해지기 때문이다.
1STEP 1
모든 항을 한쪽으로 옮기기
모두 한쪽으로 옮겨진다.
x² - 10x + y² + 6y + 34 = 0
한쪽을 0으로 만들면 다시 쓰고 읽어내기 좋은 형태가 된다.
6.EE.A.3Organize Information In More Ways2STEP 2
변수마다 완전제곱식 만들기
각 변수가 완전제곱이 된다.
x² - 10x = (x-5)² - 25, y² + 6y = (y+3)² - 9
완전제곱식을 만들면 흩어진 이차식이 깔끔한 제곱과 남는 수로 바뀐다.
6.EE.A.3Organize Information In More Ways3STEP 3
남는 상수 합치기
상수가 정확히 0으로 상쇄된다.
(x-5)² - 25 + (y+3)² - 9 + 34 = 0 → (x-5)² + (y+3)² = 0
-25 - 9 + 34가 0으로 지워져 순수한 두 제곱의 합만 남는다.
7.NS.A.1Organize Information In More Ways4STEP 4
각 제곱을 0으로 만들기
두 제곱이 모두 0이 되어 2, 보기 (E).
(x-5)² = 0, (y+3)² = 0 → x = 5, y = -3 → x + y = 2
절대 음수가 될 수 없는 두 값이 합해서 0이 되려면 둘 다 0이어야 한다.
결코 음수가 될 수 없는 두 값이 합쳐 0이 되려면 둘 다 0이어야 한다.
▸ 왜?
어느 한쪽이라도 양수면 합도 양수가 되는데, 다른 쪽이 그것을 끌어내릴 수 없기 때문이다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
▸ 왜?
합이 0이라는 것은 남는 것이 없다는 뜻이므로, 어느 제곱도 아무것도 보탤 수 없다.
덧셈의 항등원 (0)0을 더하면 아무것도 안 더한 것이라 수가 그대로 남는다.
정답
2
x = 5, y = -3을 원래 식에 넣어본다. 왼쪽은 25 + 9 = 34이다. 오른쪽은 10(5) - 6(-3) - 34 = 50 + 18 - 34 = 34이다. 양변이 같으므로 점 (5, -3)이 맞고 x + y = 2, 즉 보기 (B)이다.
💡핵심 정리
완전제곱식으로 바꿔 식을 제곱의 합 = 0 형태로 만든 다음, 제곱의 합은 모든 제곱이 0일 때만 0이 된다는 것을 기억하라.
- 모든 항을 한쪽으로 옮기기
- 변수마다 완전제곱식 만들기
- 남는 상수 합치기
- 각 제곱을 0으로 만들기