AMC 10 · 2013 · #7
학년 4 counting triangular-numberspattern-recognitionsequences-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pattern-recognition
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
매 차례 처음부터 다시 세되 앞보다 한 걸음 더 나아간다. 정해진 순서에 말한 수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
2
(B)
3
(C)
5
(D)
6
(E)
8
풀이 과정
전략 패턴 찾기
세는 규칙이 깔끔하게 반복된다. n번째 차례에는 정확히 n개의 수가 나온다. 이 패턴을 알아채고, 차례마다의 개수를 더해 각 차례가 끝날 때까지 말한 수의 총개수를 구한 뒤, 53번째 수가 몇 번째 차례에 있는지 찾고 그 차례 안에서 값을 읽어낸다.
1STEP 1
차례마다 몇 개를 말하는지 세기
n번째 차례는 정확히 그만큼 말한다.
n번째 차례에는 n 개: 1, 2, …, n
차례 번호가 곧 그 차례에 말하는 수의 개수다.
차례 번호는 그 차례에 말하는 수의 개수와 같다.
▸ 왜?
차례마다 앞 차례보다 하나씩 더 말하므로, 개수가 같은 간격으로 오른다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
▸ 왜?
말한 모든 수는 그 차례 안의 정확히 한 자리와 짝지어지므로, 자리를 세면 수를 세게 된다.
일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
더해서 어느 차례인지 찾기
차례를 더하면 목표가 열 번째 차례에 든다.
1+2+…+9 = 45, 45 + 10 = 55, 45 ＜ 53 ≤ 55
말한 수의 누적 개수가 53을 처음 넘을 때까지 계속 더한다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems3STEP 3
10번째 차례 안에서 53 위치 찾기
그 차례 안의 자리가 8을 준다, 보기 (B).
53 - 45 = 8 → 1,2,…,10 중 8번째 수 = 8
이미 센 개수를 빼고, 그만큼 지금 차례의 목록으로 걸어 들어간다.
4.OA.A.3Make A Systematic List정답
8
누적 총개수 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55를 보면 53번째 위치가 45번째와 55번째 사이, 즉 목록이 1..10인 10번째 차례 안에 있음이 확인된다. 46, 47, ..., 53을 세면 8번째 항에 닿고 그 값은 8로, 보기 중 하나다.
💡핵심 정리
각 차례가 수를 몇 개 말하는지 원하는 번째를 넘어설 때까지 더한 뒤, 마지막 차례의 목록에서 그만큼 세어 들어가면 된다.
- 차례마다 몇 개를 말하는지 세기
- 더해서 어느 차례인지 찾기
- 10번째 차례 안에서 53 위치 찾기