AMC 8 · 2007 · #18

학년 5 number-theory

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

multi-digit-arithmeticplace-valuepattern-recognitionunits-digit-tracking pattern-recognitionidentify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticplace-value

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문제

두 개의 99 자리 수 N₁ = 303,030,303,…,030,303 과 N₂ = 505,050,505,…,050,505 를 곱합니다. 그 곱의 천의 자리 숫자를 A, 일의 자리 숫자를 B 라 할 때 A + B 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 / 여집합 세기

핵심은 도구 #16(관점 바꾸기)입니다. 198 자리 전체 곱을 계산하는 대신, 정말 필요한 것 — 곱의 마지막 네 자리 — 에만 초점을 맞춥니다. 곱셈을 세로로 적어 보면, 곱의 마지막 네 자리는 두 수의 마지막 네 자리에만 영향을 받습니다. 그 위쪽 자리들은 만의 자리 이상으로만 올라가고 다시 내려오지 않으니까요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 짧은 버전(30303 × 50505 또는 303 × 505)을 직접 풀어 보면 같은 마지막 네 자리가 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

1STEP 1

전체 곱은 무시합니다 — 천·일의 자리는 마지막 네 자리 안에 있어, 각 수의 마지막 네 자리만 영향을 줍니다.

N₁ × N₂ 의 마지막 4자리 = (N₁ 의 마지막 4자리) × (N₂ 의 마지막 4자리) 의 마지막 4자리

2STEP 2

각 수의 마지막 네 자리를 읽습니다: N₁ 은 0303, N₂ 는 0505 로 끝나므로 303 과 505 를 곱합니다.

N₁ 의 마지막 4자리 = 0303 = 303, N₂ 의 마지막 4자리 = 0505 = 505

3STEP 3

두 작은 수를 부분곱으로 곱해 153015 를 얻습니다.

303 × 505 = 300 × 500 + 300 × 5 + 3 × 500 + 3 × 5 = 150000 + 1500 + 1500 + 15 = 153015

4STEP 4

마지막 네 자리는 3015 이므로 천의 자리 A = 3, 일의 자리 B = 5, A + B = 8.

153015 의 마지막 4자리 = 3015 → A = 3, B = 5 → A + B = 8 → (D)

정답

짧은 버전으로 확인해 봅시다. N₁' = 30303, N₂' = 50505 (5 자리짜리 같은 패턴)로 두면 30303 × 50505 = 30303 × 50000 + 30303 × 505 = 1,515,150,000 + 15,303,015 = 1,530,453,015. 마지막 네 자리는 3015 — 303 × 505 에서 얻은 값과 정확히 같습니다. 따라서 천의 자리는 3, 일의 자리는 5, A + B = 8 로 답 (D) 와 일치합니다. 더 긴 인수에서 같은 마지막 네 자리가 나오는 이유가 바로 1단계에서 사용한 자릿값 원리입니다.

💡핵심 정리

엄청 큰 곱이라도 마지막 몇 자리만 필요할 땐 왼쪽 자리들을 다 버려도 돼요 — 5학년 자릿값으로 이 AMC 8 문제가 간단한 곱셈 하나로 줄어듭니다.

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