AMC 10 · 2014 · #8
학년 6 number-theorylogic답을 골라 클릭하세요.
복면산은 숨은 값에 이름을 붙이고 각 자리의 관계를 읽어내면 풀린다. 도구 #4(변수 도입하기)로 자리 사이의 받아올림 c₁,…,c₄을 변수로 두면 그림이 다섯 개의 정확한 방정식으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 자리를 하나의 작은 방정식으로 보고 두 자리를 비교하면 받아올림이 모두 0이 되고 C=0이 정해진다. 문제가 A+B=D 로 줄어들면 도구 #14(극단의 원리)로 D 의 최솟값과 최댓값을 찾고, 그 사이 값이 모두 가능함을 확인하여 개수를 센다.
자리마다 받아올림에 이름 붙이기
각 자리에 자기 받아올림이 붙는다.
자리마다 받아올림을 하나의 미지수로 두면, 그림이 추측 대신 계산할 수 있는 방정식으로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable일의 자리와 백의 자리 비교하기
닮은 두 자리를 곧장 비교한다.
받아올림 하나이면서 동시에 10의 배수인 수는 0 일 수밖에 없다.
받아올림 하나이면서 동시에 10의 배수인 값은 0일 수밖에 없다.
▸ 왜?
덧셈의 각 자리는 다음 자리에 많아야 1을 넘기는데, 모든 자리가 아래 자리의 열 배이기 때문이다.
▸ 왜?
받아올림 하나가 될 만큼 작은 10의 배수는 0뿐이다.
모든 받아올림과 C를 0으로 몰아넣기
모든 받아올림이 0으로 강제된다.
받아올림이 새어 나갈 틈이 없으니, 가운데 글자 C 는 0까지 눌려 내려간다.
6.EE.B.5Identify Subproblems문제 전체를 A + B = D 로 줄이기
문제가 단순한 덧셈 하나로 줄어든다.
받아올림이 사라지면 다섯 글자짜리 탑은 사실 작은 덧셈 하나일 뿐이다.
4.NBT.B.4Introduce A VariableD를 최솟값부터 최댓값까지 훑기
범위를 훑으면 7, 보기 (C).
두 극단을 찾고 그 사이에 빠진 값이 없음을 확인하면, 개수는 곧 그 구간의 길이이다.
4.NBT.B.4Extreme Principle숨은 받아올림마다 이름을 붙이면 각 자리가 C=0과 A+B=D 를 강제하므로, D 는 3부터 9까지 어떤 숫자든 될 수 있다 — 모두 일곱 가지이다.
- 자리마다 받아올림에 이름 붙이기
- 일의 자리와 백의 자리 비교하기
- 모든 받아올림과 C를 0으로 몰아넣기
- 문제 전체를 A + B = D 로 줄이기
- D를 최솟값부터 최댓값까지 훑기