AMC 10 · 2016 · #2
학년 8 algebra exponentslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
서로 다른 밑의 거듭제곱을 곱해 또 다른 거듭제곱이 된다. 지수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5
풀이 과정
전략 다르게 정리하기
양쪽이 세 가지 밑(10, 100, 1000)으로 적혀 있어서 어긋나 보입니다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심입니다 — 모든 수를 하나의 밑 10의 거듭제곱으로 바꾸면 그 어긋남이 사라집니다. 양쪽이 10의 거듭제곱 하나로 정리되고 나면, 도구 #4(변수 도입하기)로 지수를 x 에 대한 평범한 방정식으로 보고 풀 수 있습니다.
1STEP 1
모든 밑을 십으로 고치기
모든 밑이 10으로 다시 쓰인다.
100²x=(10²)²x=10⁴x, 1000⁵=(10³)⁵=10¹⁵
모든 수를 10의 거듭제곱으로 적으면 세 수가 같은 언어가 되어 서로 비교할 수 있습니다.
8.EE.A.1Organize Information In More Ways2STEP 2
곱셈은 지수를 더한다
곱하면 지수가 더해진다.
10^x · 10⁴x=10^x+4x=10⁵x=10¹⁵
밑이 같으니 곱셈은 지수를 더해서 한데 쌓는 것일 뿐입니다.
밑이 같으면 곱셈은 지수를 더해 쌓을 뿐이다.
▸ 왜?
지수는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 거듭제곱을 합치면 그 횟수가 합쳐진다.
거듭제곱은 반복 곱셈b^n은 밑 b를 n번 곱한 것이며, 1보다 큰 밑의 거듭제곱은 값이 엄격히 커진다.
▸ 왜?
한 밑의 같은 두 거듭제곱은 지수가 같아야 하므로, 양변을 맞추면 횟수가 맞춰진다.
밑이 같고 값이 같으면 지수도 같다밑이 1보다 크면 거듭제곱은 커지기만 하므로, 그 밑의 두 거듭제곱이 같다면 지수도 같을 수밖에 없다.
3STEP 3
지수를 맞춰 답 읽기
지수를 맞추면 3, 보기 (C).
5x=15 → x=15/5=3 → (C)
10의 두 거듭제곱이 같다면, 유일한 방법은 지수가 같은 수가 되는 것입니다.
6.EE.B.7Introduce A Variable정답
3
x=3을 직접 확인합니다. 왼쪽은 10³ · 100⁶=10³ · 10¹²=10¹⁵가 되고, 이는 1000⁵=10¹⁵와 같습니다. 양쪽이 정확히 일치하므로 (C)가 맞습니다. 1 이나 2 처럼 더 작은 x 는 왼쪽을 10⁵ 또는 10¹⁰으로 남겨 10¹⁵에 못 미칩니다.
💡핵심 정리
밑이 달라 보이면 모두 같은 수의 거듭제곱으로 바꾸세요 — 그러면 지수만 맞추면 됩니다.