AMC 10 · 2016 · #6
학년 6 algebra답을 골라 클릭하세요.
동전 총합은 누적 합 1 + 2 + … + N이다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 마지막 줄을 N이라 부르면 이 합이 깔끔한 식 (N(N+1))/2 하나로 바뀐다. 이를 2016과 같다고 놓으면 N에 대한 식 하나가 나온다. 식 N(N+1) = 4032는 곱이 4032가 되는 연속한 두 수를 찾는 문제이므로, 잘 겨냥한 곱셈 한 번으로 확인되는 도구 #6(추측하고 확인하기)에 딱 맞는다. 마지막으로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이 문제가 두 부분, 즉 먼저 N을 찾고 그다음에 따로 자리 숫자를 더하는 것임을 일러 주어 N에서 멈추지 않게 한다.
동전 더미를 식으로 바꾸기
그 더미에는 표준 식이 있다.
수열의 양 끝을 짝지으면 모든 짝의 크기가 같아져서 긴 덧셈이 짧은 곱셈으로 바뀐다.
목록의 양 끝을 짝지으면 모든 짝의 크기가 같아져, 긴 덧셈이 곱셈 한 번이 된다.
▸ 왜?
고르게 늘어선 목록에서 안쪽으로 옮기면 한쪽이 오른 만큼 다른 쪽이 내려간다.
▸ 왜?
연속한 정수는 같은 간격으로 오르며, 그래서 목록이 고르게 늘어선다.
분수 없애기
정리하면 연속한 두 수의 곱이 된다.
양변을 두 배로 하면 등식의 균형은 그대로이고 분수가 순수한 정수 곱으로 바뀐다.
6.EE.B.5Introduce A Variable연속한 두 수 찾기
그 두 수는 63과 64다.
연속한 두 수의 곱은 그 제곱과 거의 같으므로, 제곱이 4032가 되는 크기 근처를 겨냥하면 한두 번 만에 정확한 짝을 찾는다.
5.NBT.B.5Guess And CheckN의 자리 숫자 더하기
자릿수 합은 9, 보기 (D).
찾은 수의 자리 숫자를 읽어 더하면 된다 — 마지막 단계가 가장 쉽다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems더미 1 + 2 + … + N은 (N(N+1))/2와 같으므로 이를 2016으로 놓고 63 × 64 = 4032를 찾은 뒤, 63의 자리 숫자를 더하면 9이다.
- 동전 더미를 식으로 바꾸기
- 분수 없애기
- 연속한 두 수 찾기
- N의 자리 숫자 더하기