AMC 10 · 2017 · #5
학년 4 counting combinations-basicpair-countingcomplementary-counting complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: combinations-basic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
모든 사람 쌍이 두 인사 중 정확히 하나를 한다. 한 종류의 인사 수를 세어라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
240
(B)
245
(C)
290
(D)
480
(E)
490
풀이 과정
전략 관점 바꾸기
악수를 직접 세면 모르는 사이가 두 그룹에 걸쳐 있어 번거롭다. 하지만 어느 두 사람이든 정확히 한 가지만 한다: 포옹 아니면 악수. 그래서 Tool #16 (관점 바꾸기)으로 악수 = 전체 쌍 − 포옹 쌍으로 바꾼다. Tool #2 (빠짐없이 나열하기)는 쌍을 깔끔하게 세는 방법을 준다: 각 사람이 다른 모든 사람과 만나는 횟수를 센 뒤, 한 쌍을 두 번 센 것을 반으로 나눈다. Tool #7 (작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 개의 쉬운 셈 — 전체 쌍과 포옹 쌍 — 으로 나누고, 마지막 한 번의 뺄셈으로 마무리한다.
1STEP 1
포옹 아니면 악수, 둘 중 하나
각 쌍이 정확히 하나의 인사를 한다.
악수 = (전체 쌍) - (포옹)
각 쌍이 두 가지 중 정확히 하나만 한다면, 한 종류를 세는 일은 전체에서 빼는 것과 같다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement2STEP 2
방 안의 모든 쌍 세기
모든 쌍은 435다.
(30 × 29)/2 = 870/2 = 435
모든 사람이 29명과 만나지만 너와 나는 같은 한 쌍이므로 전체를 반으로 나눈다.
모두가 나머지 모두에게 인사하지만 너와 나의 인사는 하나이므로, 총수를 반으로 나누어야 한다.
▸ 왜?
각 인사는 정확히 두 사람에게 속하므로, 사람마다 세면 두 번 지나게 된다.
두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
▸ 왜?
각 짝은 둘 가운데 하나만 할 뿐 둘 다 하지 않으므로, 한 종류를 빼면 다른 종류가 남는다.
실패를 빼고 남은 것어떤 사건은 일어나거나 일어나지 않으므로, 그 확률은 1에서 실패하는 경우의 확률을 뺀 것이며 실패 쪽이 세기 쉬울 때가 많다.
3STEP 3
포옹 세기
쉬운 쪽은 190이다.
(20 × 19)/2 = 380/2 = 190
같은 쌍 세기 방법은 어느 그룹에나 통하므로 포옹은 20명 안의 쌍일 뿐이다.
4.NBT.B.6Identify Subproblems4STEP 4
빼서 악수 구하기
빼면 245, 보기 (B).
435 - 190 = 245 → (B)
포옹이 아닌 쌍은 모두 악수이므로 한 번의 뺄셈으로 셈이 끝난다.
3.NBT.A.2Change Focus Count The Complement정답
245
두 셈이 방 전체를 다시 만든다: 포옹 190 + 악수 245 = 435로, 이는 정확히 전체 쌍의 수이므로 빠뜨리거나 중복으로 센 것이 없다. 악수 245는 전체 쌍 435보다 작고 포옹 190보다 커서, 있어야 할 자리에 정확히 놓인다.
💡핵심 정리
모든 쌍이 두 가지 중 정확히 하나만 한다면, 전체 쌍을 센 다음 원하지 않는 종류를 빼면 된다.
- 포옹 아니면 악수, 둘 중 하나
- 방 안의 모든 쌍 세기
- 포옹 세기
- 빼서 악수 구하기