AMC 10 · 2017 · #8
학년 8 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
이 문제는 모양을 보는 것이 핵심이므로 도구 #17 (공간 상상하기)을 먼저 씁니다: 곧은 선분에서 3 이내에 있는 점들은 가운데를 감싸는 관(원기둥)을 이루고, 양 끝은 둥근 돔(반구)으로 덮입니다. 그림이 분명해지면 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 부피를 이미 공식이 있는 조각들로 나눕니다 — 원기둥 하나와 양 끝의 돔 두 개인데, 돔 둘은 합쳐서 반지름 3인 온전한 구 하나가 됩니다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 모르는 길이를 L로 이름 붙여 전체 부피를 9π L + 36π = 216π 식으로 바꾸고, L을 풉니다.
입체를 그려보기
그 입체는 둥근 끝이 달린 통이다.
선분은 양 끝이 있는 선이므로, 그 3 단위 이웃은 가운데로 뻗은 관에 양 끝을 막는 돔이 달린 모양입니다.
8.G.C.9Visualize Spatial Relationships두 덮개를 구 하나로 합치기
양 끝이 정확히 구 하나를 만든다.
공의 똑같은 두 반쪽은 결국 온전한 공 하나이므로, 반쪽을 따로 다루지 말고 구 공식을 한 번만 씁니다.
공의 똑같은 두 반쪽은 온전한 공 하나일 뿐이므로, 두 뚜껑을 공식 하나로 다룰 수 있다.
▸ 왜?
그 입체는 관과 두 뚜껑을 모은 것 그대로이므로, 부피가 더해진다.
▸ 왜?
관의 부피는 원형 밑면이 길이만큼 반복된 것이므로, 모르는 것은 그 길이뿐이다.
원기둥 부피를 변수로 쓰기
통의 부피는 길이의 일차식이다.
관의 부피는 둥근 밑면에 뻗은 길이를 곱한 것이고, 그 뻗은 길이가 바로 선분의 길이입니다.
8.G.C.9Introduce A Variable부피를 같다고 놓고 풀기
풀면 20, 보기 (D).
덮개 부피를 따로 떼어 두면 남는 부피는 모두 원기둥이고, 그 길이는 일차방정식 하나에서 곧장 나옵니다.
8.EE.C.7Introduce A Variable선분에서 일정 거리 이내의 모든 점은 양 끝에 돔이 달린 관이 됩니다 — 원기둥과 두 덮개(온전한 구 하나)를 더한 뒤 길이를 구하세요.
- 입체를 그려보기
- 두 덮개를 구 하나로 합치기
- 원기둥 부피를 변수로 쓰기
- 부피를 같다고 놓고 풀기
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