AMC 10 · 2018 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglesarea-trianglespythagorean-theoremarea-difference identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-trianglesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

밭이 두 변의 길이가 3과 4인 직각삼각형입니다. 직각인 모퉁이에 심지 않는 작은 정사각형이 두 변에 딱 붙어 놓여 있습니다. 정사각형에서 가장 먼 꼭짓점은 빗변에서 정확히 2만큼 떨어져 있습니다. 나머지 부분에는 모두 작물을 심습니다. 밭에서 작물을 심는 부분의 비율을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{25}{27}$

(B)

$\frac{26}{27}$

(C)

$\frac{73}{75}$

(D)

$\frac{145}{147}$

(E)

$\frac{74}{75}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

정사각형의 변의 길이를 모르니 변수로 이름 붙인다. 핵심은 삼각형을 넓이를 각각 적을 수 있는 조각들로 자르는 것이다 — 정사각형, 두 개의 모서리 삼각형, 그리고 빗변 위에 얹힌 삼각형 하나. 이 조각들의 넓이 합이 전체와 같다고 놓으면 깔끔한 방정식 하나가 된다. 마지막으로 심긴 부분을 직접 재는 대신 전체에서 심기지 않은 정사각형을 빼서 구한다.

1STEP 1

정사각형의 변에 이름 붙이기

정사각형의 변에 문자를 붙입니다.

s = 정사각형의 변의 길이

2STEP 2

삼각형의 크기 파악

삼각형의 빗변과 넓이를 먼저 구합니다.

빗변 = √(3² + 4²) = 5, 넓이 = 1/2 · 3 · 4 = 6

3STEP 3

빗변 위의 삼각형

거리 2가 빗변 위 삼각형의 넓이를 줍니다.

[ 빗변 삼각형 ] = 1/2 · 5 · 2 = 5

4STEP 4

두 모서리 삼각형

두 모서리 삼각형도 변으로 표현됩니다.

1/2s(4 - s) + 1/2s(3 - s)

5STEP 5

조각의 합을 6으로

조각의 합이 전체가 되어 변이 정해집니다.

s² + 1/2s(4-s) + 1/2s(3-s) + 5 = 6 → 7s/2 = 1 → s = 2/7, s² = 4/49

6STEP 6

심기는 비율

빼면 147분의 145입니다.

1 - 4/49/6 = 1 - 4/294 = 1 - 2/147 = 145/147

정답

145/147

정사각형은 아주 작다. 변 2/7은 1보다 한참 작고, 넓이 4/49는 약 0.08로 넓이 6인 밭에 비하면 미미하다. 그래서 밭의 거의 전부가 심기고, 145/147은 1에 아주 살짝 못 미치는 값으로 예상과 정확히 맞는다. 빠른 점검으로, 심기지 않은 비율은 2/147이라 분모에 147의 인수가 필요한데, 선택지 중 145/147만 그렇다.

💡핵심 정리

잴 수 있는 조각으로 도형을 자르고, 그 합이 전체가 되게 하면 모르는 값이 저절로 나온다.

정사각형의 변에 이름 붙이기
삼각형의 크기 파악
빗변 위의 삼각형
두 모서리 삼각형
조각의 합을 6으로
심기는 비율