AMC 10 · 2018 · #24

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

floor-functionquadratic-equationssign-analysis convert-to-algebracaseworkbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: floor-function

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 실수를 넘지 않는 가장 큰 정수를 그 수의 바닥값이라고 합니다. x의 제곱 더하기 만 곱하기 x의 바닥값이 만 곱하기 x와 같아지는 실수 x가 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

197

(B)

198

(C)

199

(D)

200

(E)

201

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13 (대수로 바꾸기): 까다로운 부분은 바닥 기호이므로, 첫 수는 그것을 한쪽으로 옮기고 x - ⌊ x ⌋를 소수 부분으로 알아보는 것이다. 이 한 번의 변형이 방정식을 훨씬 읽기 쉬운 x² = 10000{x}로 바꾼다. 도구 #4 (변수 도입하기): 정수 부분을 n = ⌊ x ⌋로 이름 붙이면, 실수 전체가 정수 n마다 하나씩 구간 [n, n+1)로 쪼개진다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 전체 직선을 한꺼번에 보는 대신 '한 구간 [n, n+1) 안에 해가 몇 개 있는가?'라는 작은 질문을 묻고, 통하는 구간을 센다. 도구 #1 (그림 그리기): 포물선 y = x²를 올라가는 톱니 y = 10000{x}와 겹쳐 그리면, 통하는 각 구간이 정확히 한 번 교차함을 한눈에 볼 수 있다.

1STEP 1

바닥 항을 옆으로 옮기기

바닥값을 옮기면 소수 부분이 나타납니다.

x² = 10000 (x - ⌊ x ⌋) = 10000{x}

2STEP 2

x가 얼마나 클 수 있는지 가두기

소수 부분이 1보다 작아 x가 갇힙니다.

0 ≤ {x} ＜ 1 → 0 ≤ x² ＜ 10000 → -100 ＜ x ＜ 100

3STEP 3

한 구간으로 확대하기

정수 구간 하나로 확대해서 봅니다.

x² = 10000(x-n), x ∈ [n, n+1)

4STEP 4

어느 구간이 교차를 주는지 찾기

어느 구간이 해를 주는지 판정합니다.

[n, n+1) 안에 해 정확히 하나 ⇔ (n+1)² ＜ 10000

5STEP 5

통하는 구간 세기

세어 보면 199개입니다.

(n+1)² ＜ 10000 ⇔ n ∈ {-100, …, 98} → 199 개의 해 → (C)

정답

199

띠 -100 ＜ x ＜ 100은 200개의 단위 구간(정수 부분 n = -100부터 99까지)에 걸친다. 그중 하나만 빼고 모두 해를 만들며, 빠지는 것은 n = 99다. 거기서 (99+1)² = 10000은 10000보다 작지 '않으므로' 가파른 직선이 포물선을 끝내 넘지 못한다. 200에서 그 한 구간을 빼면 199가 남고, 이는 (C)에 닿는다. 함정 답 197, 198, 200, 201은 끝점에서 하나 어긋나는 실수로 나오는 종류의 수들이라, 경계를 꼼꼼히 확인하는 것이 개수를 못 박는 일이다.

💡핵심 정리

바닥 함수 방정식을 한 단위 구간씩 쪼개고, 각 구간에서 교차가 한 번 있는지 확인한 뒤, 통하는 구간을 세라.

바닥 항을 옆으로 옮기기
x가 얼마나 클 수 있는지 가두기
한 구간으로 확대하기
어느 구간이 교차를 주는지 찾기
통하는 구간 세기

바닥 항을 옆으로 옮기기

x가 얼마나 클 수 있는지 가두기

한 구간으로 확대하기

어느 구간이 교차를 주는지 찾기

통하는 구간 세기

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