AMC 10 · 2018 · #7

학년 11 algebra

유형 Telescoping Collapse └ 세부 유형 Product Ratio Cancellation

logarithm-propertiestelescoping-sumsequences-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logarithm-propertiessequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

로그 열한 개를 모두 곱합니다. 밑은 홀수 3, 5, 7부터 23까지 차례로 가고, 각 인수의 진수는 자기 밑보다 4만큼 큽니다. 즉 밑 3에 진수 7, 밑 5에 진수 9, 밑 7에 진수 11 하는 식으로 밑 23에 진수 27까지 갑니다. 이 곱의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$3\log_{7}23$

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

각 인수는 저마다 다른 밑을 가지고 있고, 밑이 다른 로그끼리는 서로 맞물릴 방법이 없습니다. 바로 이것이 이 문제의 어려움입니다. 서로를 이어 줄 고리가 없는 못생긴 무리수 열한 개가 놓여 있을 뿐입니다. 해결책은 계산이 아니라 고쳐 쓰기입니다. 밑 변환 공식을 쓰면 모든 인수가 하나의 공통 밑으로 잰 로그의 비로 바뀌고, 열한 개가 전부 같은 밑에 놓이는 순간 곱 전체가 하나의 큰 분수가 됩니다. 그리고 그 분수의 분자 목록과 분모 목록은 같은 홀수 행렬을 두 칸 어긋나게 잘라 놓은 것이어서, 거의 모든 항이 짝을 이루어 약분됩니다. 살아남는 것은 양 끝뿐이고, 그 양 끝은 서로 정확한 거듭제곱 관계입니다.

1STEP 1

숨어 있는 인수 모두 써 보기

숨어 있는 인수를 모두 써 봅니다.

log₃ 7 · log₅ 9 · log₇ 11 · log₉ 13 · log₁₁ 15 · log₁₃ 17 · log₁₅ 19 · log₁₇ 21 · log₁₉ 23 · log₂₁ 25 · log₂₃ 27

2STEP 2

모든 인수를 같은 밑으로 옮기기

모든 인수를 같은 밑으로 옮깁니다.

log_b a = (log a)/(log b) ⟹ log₃ 7 · log₅ 9 … log₂₃ 27 = (log 7)/(log 3) · (log 9)/(log 5) · (log 11)/(log 7) … (log 25)/(log 21) · (log 27)/(log 23)

3STEP 3

하나의 큰 분수로 합치기

하나의 큰 분수로 합칩니다.

(log 7 · log 9 · log 11 … log 21 · log 23 · log 25 · log 27)/(log 3 · log 5 · log 7 · log 9 … log 19 · log 21 · log 23)

4STEP 4

두 목록이 공유하는 덩어리 약분하기

공유하는 가운데 덩어리가 통째로 약분됩니다.

((log 7 · log 9 … log 23) · log 25 · log 27)/(log 3 · log 5 · (log 7 · log 9 … log 23)) = (log 25 · log 27)/(log 3 · log 5)

5STEP 5

살아남은 네 개 계산하기

살아남는 것은 네 개뿐입니다.

(log 25 · log 27)/(log 3 · log 5) = ((2log 5)(3log 3))/(log 3 · log 5) = 2 · 3 = 6

6STEP 6

선택지 맞추고 함정 피하기

계산하면 6입니다.

(log 27)/(log 3) · (log 25)/(log 5) = 3 · 2 = 6 ⟹ (C)

정답

서로 독립적인 두 가지 확인이 일치합니다. 첫째, 구조 자체가 정수를 예고합니다. 약분을 피해 살아남는 것은 log 3과 log 5 위의 log 25와 log 27뿐인데, 25와 27이 각각 5와 3의 정확한 거듭제곱이므로 남는 값은 2 · 3이 될 수밖에 없습니다. 둘째, 소수 계산도 이를 뒷받침합니다. 진수 b + 4가 밑 b보다 크므로 모든 인수는 1보다 크고, 수가 커질수록 인수는 1 쪽으로 꾸준히 작아집니다. log₃ 7 ≈ 1.771, log₅ 9 ≈ 1.365, log₇ 11 ≈ 1.232이고 마지막은 log₂₃ 27 ≈ 1.051입니다. 열한 개를 모두 곱하면 5.999…가 나오고, 이는 반올림하면 6입니다. 크기 감각도 맞습니다. 곱은 1보다 크지만 10 근처에는 전혀 못 미치므로 6과는 잘 맞고 선택지 (E)와는 어울리지 않습니다. 또 (B)는 유일하게 숫자가 아닌 선택지인데, 이것 자체가 완결된 약분이 아니라 미완의 약분에 속한 답이라는 힌트입니다.

💡핵심 정리

긴 로그 사슬이 곱해져 있을 때는 모두 하나의 공통 밑으로 고쳐 쓰세요. 가운데 항들은 짝을 지어 사라지고, 결국 답을 결정하는 것은 양 끝 두 개뿐입니다.

숨어 있는 인수 모두 써 보기
모든 인수를 같은 밑으로 옮기기
하나의 큰 분수로 합치기
두 목록이 공유하는 덩어리 약분하기
살아남은 네 개 계산하기
선택지 맞추고 함정 피하기