AMC 8 · 2018 · #2

학년 5 arithmeticpattern

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

fraction-arithmeticfraction-multiplicationpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

곱 (1+

\frac{1}{1}

)(1+

\frac{1}{2}

)(1+

\frac{1}{3}

)(1+

\frac{1}{4}

)(1+

\frac{1}{5}

)(1+

\frac{1}{6}

) 의 값을 구해, 다섯 개의 선택지 중 어느 것에 해당하는지 고르는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{6}$

(B)

$\frac{4}{3}$

(C)

$\frac{7}{2}$

(D)

(E)

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

각 인수 1 + $\frac{1}{k}$ 를 $\frac{k+1}{k}$ 로 깔끔하게 바꾸면, 곱은 $\frac{2}{1}$ · $\frac{3}{2}$ · $\frac{4}{3}$ … $\frac{7}{6}$ 처럼 "앞 분수의 분자" 와 "뒤 분수의 분모" 가 줄줄이 같아지는 모양이 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 바로 이 망원경식(telescoping) 약분 패턴을 잡아내, 여섯 분수의 곱셈을 한 줄짜리 답으로 줄여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 인수를 2 개, 3 개로 먼저 계산해 보고 "답은 마지막 분자" 라는 규칙을 확신한 뒤 여섯 개에 적용하도록 받쳐 줍니다.

1STEP 1

각 인수 1+ $\frac{1}{k}$ 를 $\frac{k+1}{k}$ 로 바꾸면, 여섯 인수는 $\frac{2}{1}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{4}{3}$ , $\frac{5}{4}$ , $\frac{6}{5}$ , $\frac{7}{6}$ 이 됩니다.

\frac{1}{k}

\frac{k+1}{k}

→

\frac{2}{1}

\frac{3}{2}

\frac{4}{3}

\frac{5}{4}

\frac{6}{5}

\frac{7}{6}

2STEP 2

도구 #9 로 작은 경우부터 확인합니다: 인수 2 개는 3, 3 개는 4, 4 개는 5 — 분자가 다음 분모와 약분되어 마지막 분자만 남습니다.

\frac{2}{1}

\frac{3}{2}

= 3,

\frac{2}{1}

\frac{3}{2}

\frac{4}{3}

= 4,

\frac{2}{1}

\frac{3}{2}

\frac{4}{3}

\frac{5}{4}

= 5

3STEP 3

여섯 인수 전체에 망원경 약분을 적용하면 가운데 수가 모두 약분되어 $\frac{2}{1}$ · $\frac{3}{2}$ · $\frac{4}{3}$ · $\frac{5}{4}$ · $\frac{6}{5}$ · $\frac{7}{6}$ = $\frac{7}{1}$ 만 남습니다.

\frac{2}{1}

\frac{3}{2}

\frac{4}{3}

\frac{5}{4}

\frac{6}{5}

\frac{7}{6}

\frac{7}{1}

4STEP 4

값을 읽으면 $\frac{7}{1}$ = 7 이므로 선택지 (D) 와 일치합니다.

\frac{7}{1}

= 7 → (D)

정답

모든 인수가 1 보다 크므로 곱도 1 보다 큽니다. 가장 작은 인수는

\frac{7}{6}

≈ 1.17, 가장 큰 인수는 2 이고, 어림으로 2 × 1.5 × 1.33 × 1.25 × 1.2 × 1.17 ≈ 7 이 나와 정답과 일치합니다. 패턴으로 보면 더 확실합니다 — k = 1 부터 n 까지 1 +

\frac{1}{k}

의 곱은 항상 n+1 이므로, n = 6 일 때 답은 7, 즉 (D) 입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "분수 × 분수" 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 약분 패턴만 알아채면 한 줄에 답이 나와요!

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