경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2018 · #2
학년 5 arithmeticpattern답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
각 인수 1 + 1/k를 (k+1)/k로 깔끔하게 바꾸면, 곱은 2/1·3/2·4/3…7/6 처럼 "앞 분수의 분자" 와 "뒤 분수의 분모" 가 줄줄이 같아지는 모양이 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 바로 이 망원경식(telescoping) 약분 패턴을 잡아내, 여섯 분수의 곱셈을 한 줄짜리 답으로 줄여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 인수를 2 개, 3 개로 먼저 계산해 보고 "답은 마지막 분자" 라는 규칙을 확신한 뒤 여섯 개에 적용하도록 받쳐 줍니다.
각 항을 분수로 바꾸기
각 인수 1+ 를 로 바꾸면, 여섯 인수는 , , , , , 이 됩니다.
자연수와 같은 분모를 가진 단위분수를 더하는 것은 단위분수 합으로 분수를 보는 4학년 분수 감각 그대로입니다.
4.NF.B.3Look For A Pattern작은 경우 먼저 해 보기
도구 #9로 작은 경우부터 확인합니다: 인수 2 개는 3, 3 개는 4, 4 개는 5 — 분자가 다음 분모와 약분되어 마지막 분자만 남습니다.
작은 경우 몇 개로부터 규칙을 만들어 내는 것은 4학년 "수·도형 패턴 만들기" 표준 그대로입니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem이어지는 항 약분하기
여섯 인수 전체에 망원경 약분을 적용하면 가운데 수가 모두 약분되어 ····· = 만 남습니다.
분수끼리 곱하면서 분자·분모의 공통인수를 약분하는 것은 5학년 "분수 × 분수" 곱셈 표준 그대로입니다.
여섯 분수 2/1·3/2·4/3·5/4·6/5·7/6 를 곱하면 겹치는 수가 모두 지워지고 맨 앞 분모와 맨 뒤 분자만 남아 7/1 이 된다.
▸ 왜?
분수들을 곱하면 여섯 개의 분자가 모두 한 곱으로, 여섯 개의 분모가 모두 다른 한 곱으로 곱해져, 전체가 하나의 분수 (2·3·4·5·6·7)/(1·2·3·4·5·6) 이 된다.
▸ 왜?
그 하나의 분수에서 분자는 블록 2·3·4·5·6 에 7 을 곱한 것이고, 분모는 같은 블록 2·3·4·5·6 에 1 을 곱한 것이므로, 분자와 분모는 블록 2·3·4·5·6 전체를 공통인수로 가진다.
▸ 왜?
곱해지는 수들은 곱을 바꾸지 않고 다시 묶을 수 있으므로, 분자 2·3·4·5·6·7 은 하나의 블록 (2·3·4·5·6) 에 7 을 곱한 것으로 볼 수 있다.
▸ 왜?
분모 맨 앞의 1 은 곱에 아무것도 더하지 않으므로, 1·2·3·4·5·6 은 그냥 블록 2·3·4·5·6 자체이다.
▸ 왜?
분자와 분모를 그 공통 블록 2·3·4·5·6 으로 각각 나누면 그것이 지워지고 위에 7, 아래에 1 만 남으며, 분수의 분자와 분모를 0이 아닌 같은 수로 나누어도 값은 결코 변하지 않는다.
값 읽어내기
값을 읽으면 = 7 이므로 선택지 (D)와 일치합니다.
분모가 1 인 분수는 분자 그 자체라는 4학년 분수의 의미 그대로입니다.
4.NF.B.3Look For A Pattern이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "분수 × 분수" 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 약분 패턴만 알아채면 한 줄에 답이 나와요!
- 각 항을 분수로 바꾸기
- 작은 경우 먼저 해 보기
- 이어지는 항 약분하기
- 값 읽어내기
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