경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2006 · #9
학년 5 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
2004 개의 분수를 직접 곱하는 것은 불가능하니, 문제는 구조를 보라고 말하고 있습니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 주력입니다 — 한 인수의 분자가 다음 인수의 분모와 같다는 성질은 대부분의 항이 약분되는 텔레스코핑(망원경) 곱의 신호이기 때문입니다. 2004 개를 다 쓰지 않고도 약분을 보려면 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기)가 딱입니다. 짧은 곱부터 계산해서 무엇이 살아남는지 확인하고, 같은 패턴이 끝까지 이어진다는 점을 활용합니다.
짧은 곱 먼저 해 보기
먼저 짧게 해봅니다. 앞쪽 세 인수만 하나의 분수로 곱합니다.
짧은 곱부터 해보는 것은 5학년 "분수의 곱셈" 그대로입니다. 손으로 충분히 다룰 만큼 작지만, 무슨 일이 일어나는지는 보입니다.
5.NF.B.4Solve An Easier Related Problem약분되는 부분 찾기
3과 4는 위아래로 약분되고, 맨 앞 분모 2와 맨 뒤 분자 5만 남아 .
내부의 수들이 분자와 분모에 한 번씩 나타난다는 점을 알아채는 것은 4학년 "패턴 만들고 특징 찾기" 그대로입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern전체 곱에 규칙 적용하기
같은 패턴을 전체에 적용하면 3부터 2005까지 모두 약분되어 만 남습니다.
짧은 곱에서 본 약분 규칙은 긴 곱에서도 그대로 통합니다. 길이만 늘었을 뿐 구조는 바뀌지 않았으니까요.
모든 인수를 곱하면 3부터 2005까지의 모든 수가 사라지고, 곱은 2006/2만 남는다.
▸ 왜?
분수들을 곱하면 모든 분자가 하나의 큰 분자로, 모든 분모가 하나의 큰 분모로 모이는데, 이 인수들은 각 분자가 같은 값의 분모 옆에 오도록 나란히 정렬할 수 있다.
▸ 왜?
인수를 곱하는 순서를 바꿔도 곱은 변하지 않으므로, 각 분자를 짝이 되는 분모 옆으로 옮길 수 있다.
▸ 왜?
어떤 인수들을 먼저 묶어 곱하든 곱은 변하지 않으므로, 짝이 되는 위아래 한 쌍씩 따로 묶어 계산할 수 있다.
▸ 왜?
짝지어진 각 쌍은 하나의 내부 수를 그 같은 수로 나눈 것이고, 어떤 수를 자기 자신으로 나누면 1이 된다 — 1에 그 수를 곱하면 다시 그 수가 나오기 때문이다.
▸ 왜?
짝지어진 모든 쌍이 1이 되었고 1을 곱하면 값이 그대로이므로, 그 쌍들은 모두 떨어져 나가고 짝이 없는 첫 분모 2와 마지막 분자 2006만 남는다.
나누어 마무리하기
마지막으로 나눠서 마무리합니다.
텔레스코핑으로 정리된 분수를 5학년 나눗셈 한 번으로 답으로 바꿉니다.
5.NBT.B.6Look For A Pattern한 분수의 분자가 다음 분수의 분모와 똑같이 이어지면, 거의 모든 수가 약분됩니다. 맨 앞 분모와 맨 뒤 분자만 살아남고 — 여기서는 2006 ÷ 2 = 1003입니다.
- 짧은 곱 먼저 해 보기
- 약분되는 부분 찾기
- 전체 곱에 규칙 적용하기
- 나누어 마무리하기
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